Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} \cos (x) + 4 \sin (x)$

Этап 1

По правилу суммы производная $x^{2} \cos (x) + 4 \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sin (x)]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 \sin (x)]$

Этап 2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 \sin (x)]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [4 \sin (x)]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \sin (x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + 4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + 4 \cos (x)$

Этап 4

Изменим порядок членов.

$- x^{2} \sin (x) + 2 x \cos (x) + 4 \cos (x)$