Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{6} - 15 x^{5} + 75 x^{4} - 125 x^{3} - x$

Этап 1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $x^{6} - 15 x^{5} + 75 x^{4} - 125 x^{3} - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{5}] + \frac{d}{d x} [75 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 125 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{5}] + \frac{d}{d x} [75 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 125 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$6 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 15 x^{5}] + \frac{d}{d x} [75 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 125 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 15 x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 15$ является константой относительно $x$ , производная $- 15 x^{5}$ по $x$ равна $- 15 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$6 x^{5} - 15 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [75 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 125 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$6 x^{5} - 15 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [75 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 125 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.3

Умножим $5$ на $- 15$ .

$6 x^{5} - 75 x^{4} + \frac{d}{d x} [75 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 125 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [75 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $75$ является константой относительно $x$ , производная $75 x^{4}$ по $x$ равна $75 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$6 x^{5} - 75 x^{4} + 75 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 125 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$6 x^{5} - 75 x^{4} + 75 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 125 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 3.3

Умножим $4$ на $75$ .

$6 x^{5} - 75 x^{4} + 300 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 125 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 125 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- 125$ является константой относительно $x$ , производная $- 125 x^{3}$ по $x$ равна $- 125 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 x^{5} - 75 x^{4} + 300 x^{3} - 125 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$6 x^{5} - 75 x^{4} + 300 x^{3} - 125 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.3

Умножим $3$ на $- 125$ .

$6 x^{5} - 75 x^{4} + 300 x^{3} - 375 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{5} - 75 x^{4} + 300 x^{3} - 375 x^{2} - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 x^{5} - 75 x^{4} + 300 x^{3} - 375 x^{2} - 1 \cdot 1$

Этап 5.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$6 x^{5} - 75 x^{4} + 300 x^{3} - 375 x^{2} - 1$