Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{7} {(5 + 8 x)}^{3}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{7}$ и $g (x) = {(5 + 8 x)}^{3}$ .

$x^{7} \frac{d}{d x} [{(5 + 8 x)}^{3}] + {(5 + 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = 5 + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 + 8 x$ .

$x^{7} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [5 + 8 x]) + {(5 + 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x^{7} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [5 + 8 x]) + {(5 + 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 + 8 x$ .

$x^{7} (3 {(5 + 8 x)}^{2} \frac{d}{d x} [5 + 8 x]) + {(5 + 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $5 + 8 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$x^{7} (3 {(5 + 8 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [8 x])) + {(5 + 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Этап 3.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{7} (3 {(5 + 8 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [8 x])) + {(5 + 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Этап 3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

$x^{7} (3 {(5 + 8 x)}^{2} \frac{d}{d x} [8 x]) + {(5 + 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Этап 3.4

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{7} (3 {(5 + 8 x)}^{2} (8 \frac{d}{d x} [x])) + {(5 + 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Этап 3.5

Умножим $8$ на $3$ .

$x^{7} (24 {(5 + 8 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(5 + 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{7} (24 {(5 + 8 x)}^{2} \cdot 1) + {(5 + 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Этап 3.7

Умножим $24$ на $1$ .

$x^{7} (24 {(5 + 8 x)}^{2}) + {(5 + 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$x^{7} (24 {(5 + 8 x)}^{2}) + {(5 + 8 x)}^{3} (7 x^{6})$

Этап 3.9

Перенесем $7$ влево от ${(5 + 8 x)}^{3}$ .

$x^{7} (24 {(5 + 8 x)}^{2}) + 7 \cdot {(5 + 8 x)}^{3} x^{6}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $x^{6} {(5 + 8 x)}^{2}$ из $x^{7} (24 {(5 + 8 x)}^{2}) + 7 {(5 + 8 x)}^{3} x^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $x^{6} {(5 + 8 x)}^{2}$ из $x^{7} (24 {(5 + 8 x)}^{2})$ .

$x^{6} {(5 + 8 x)}^{2} (x \cdot (24)) + 7 {(5 + 8 x)}^{3} x^{6}$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $x^{6} {(5 + 8 x)}^{2}$ из $7 {(5 + 8 x)}^{3} x^{6}$ .

$x^{6} {(5 + 8 x)}^{2} (x \cdot (24)) + x^{6} {(5 + 8 x)}^{2} (7 (5 + 8 x))$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $x^{6} {(5 + 8 x)}^{2}$ из $x^{6} {(5 + 8 x)}^{2} (x \cdot (24)) + x^{6} {(5 + 8 x)}^{2} (7 (5 + 8 x))$ .

$x^{6} {(5 + 8 x)}^{2} (x \cdot (24) + 7 (5 + 8 x))$

Этап 4.2

Перенесем $24$ влево от $x$ .

$x^{6} {(5 + 8 x)}^{2} (24 x + 7 (5 + 8 x))$