Математический анализ Примеры

$3 x^{3} - x^{2} - 22 x + 24$

Этап 1

Разложим $3 x^{3} - x^{2} - 22 x + 24$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 3$

Этап 1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 24, \pm 8, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 12, \pm 4, \pm 3, \pm 2.\overline{6}, \pm 1.\overline{3}, \pm 6$

Этап 1.3

Подставим $2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $2$ в многочлен.

$3 \cdot 2^{3} - 2^{2} - 22 \cdot 2 + 24$

Этап 1.3.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$3 \cdot 8 - 2^{2} - 22 \cdot 2 + 24$

Этап 1.3.3

Умножим $3$ на $8$ .

$24 - 2^{2} - 22 \cdot 2 + 24$

Этап 1.3.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$24 - 1 \cdot 4 - 22 \cdot 2 + 24$

Этап 1.3.5

Умножим $- 1$ на $4$ .

$24 - 4 - 22 \cdot 2 + 24$

Этап 1.3.6

Вычтем $4$ из $24$ .

$20 - 22 \cdot 2 + 24$

Этап 1.3.7

Умножим $- 22$ на $2$ .

$20 - 44 + 24$

Этап 1.3.8

Вычтем $44$ из $20$ .

$- 24 + 24$

Этап 1.3.9

Добавим $- 24$ и $24$ .

$0$

Этап 1.4

Поскольку $2$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{3 x^{3} - x^{2} - 22 x + 24}{x - 2}$

Этап 1.5

Разделим $3 x^{3} - x^{2} - 22 x + 24$ на $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$22 x$

$24$

Этап 1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$3 x^{2}$
	$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$

Этап 1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$3 x^{2}$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			+	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Этап 1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x^{3} - 6 x^{2}$ .

				$3 x^{2}$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Этап 1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 x^{2}$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$

Этап 1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$3 x^{2}$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$22 x$

Этап 1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $5 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$3 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$22 x$

Этап 1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$3 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$22 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$10 x$

Этап 1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $5 x^{2} - 10 x$ .

				$3 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$22 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$10 x$

Этап 1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$22 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$12 x$

Этап 1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$3 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$22 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$12 x$	+	$24$

Этап 1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 12 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$12$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$22 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$12 x$	+	$24$

Этап 1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$12$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$22 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$12 x$	+	$24$
							-	$12 x$	+	$24$

Этап 1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 12 x + 24$ .

				$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$12$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$22 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$12 x$	+	$24$
							+	$12 x$	-	$24$

Этап 1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$12$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$22 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$12 x$	+	$24$
							+	$12 x$	-	$24$
										$0$

Этап 1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$3 x^{2} + 5 x - 12$

Этап 1.6

Запишем $3 x^{3} - x^{2} - 22 x + 24$ в виде набора множителей.

$(x - 2) (3 x^{2} + 5 x - 12)$

Этап 2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 12 = - 36$ , а сумма — $b = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$(x - 2) (3 x^{2} + 5 (x) - 12)$

Этап 2.1.1.2

Запишем $5$ как $- 4$ плюс $9$

$(x - 2) (3 x^{2} + (- 4 + 9) x - 12)$

Этап 2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x - 2) (3 x^{2} - 4 x + 9 x - 12)$

Этап 2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x - 2) ((3 x^{2} - 4 x) + 9 x - 12)$

Этап 2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x - 2) (x (3 x - 4) + 3 (3 x - 4))$

Этап 2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x - 4$ .

$(x - 2) ((3 x - 4) (x + 3))$

Этап 2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 2) (3 x - 4) (x + 3)$