Математический анализ Примеры

$- 2 x^{3} + 17 x - 3$

Этап 1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x^{3} + 17 x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x^{3}$ .

$- (2 x^{3}) + 17 x - 3$

Этап 1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $17 x$ .

$- (2 x^{3}) - (- 17 x) - 3$

Этап 1.3

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$- (2 x^{3}) - (- 17 x) - 1 (3)$

Этап 1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x^{3}) - (- 17 x)$ .

$- (2 x^{3} - 17 x) - 1 (3)$

Этап 1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x^{3} - 17 x) - 1 (3)$ .

$- (2 x^{3} - 17 x + 3)$

Этап 2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим $2 x^{3} - 17 x + 3$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 3, \pm 1.5$

Этап 2.1.3

Подставим $- 3$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Подставим $- 3$ в многочлен.

$2 {(- 3)}^{3} - 17 \cdot - 3 + 3$

Этап 2.1.3.2

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$2 \cdot - 27 - 17 \cdot - 3 + 3$

Этап 2.1.3.3

Умножим $2$ на $- 27$ .

$- 54 - 17 \cdot - 3 + 3$

Этап 2.1.3.4

Умножим $- 17$ на $- 3$ .

$- 54 + 51 + 3$

Этап 2.1.3.5

Добавим $- 54$ и $51$ .

$- 3 + 3$

Этап 2.1.3.6

Добавим $- 3$ и $3$ .

$0$

Этап 2.1.4

Поскольку $- 3$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{3} - 17 x + 3}{x + 3}$

Этап 2.1.5

Разделим $2 x^{3} - 17 x + 3$ на $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$3$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$17 x$

$3$

Этап 2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$

Этап 2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			+	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Этап 2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{3} + 6 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Этап 2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Этап 2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$

Этап 2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 6 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$

Этап 2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$18 x$

Этап 2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 6 x^{2} - 18 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$18 x$

Этап 2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$18 x$
							+	$x$

Этап 2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$18 x$
							+	$x$	+	$3$

Этап 2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$6 x$	+	$1$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$18 x$
							+	$x$	+	$3$

Этап 2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	-	$6 x$	+	$1$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$18 x$
							+	$x$	+	$3$
							+	$x$	+	$3$

Этап 2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x + 3$ .

				$2 x^{2}$	-	$6 x$	+	$1$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$18 x$
							+	$x$	+	$3$
							-	$x$	-	$3$

Этап 2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	-	$6 x$	+	$1$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$18 x$
							+	$x$	+	$3$
							-	$x$	-	$3$
										$0$

Этап 2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$2 x^{2} - 6 x + 1$

Этап 2.1.6

Запишем $2 x^{3} - 17 x + 3$ в виде набора множителей.

$- ((x + 3) (2 x^{2} - 6 x + 1))$

Этап 2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x + 3) (2 x^{2} - 6 x + 1)$