Математический анализ Примеры

$2 - 15 x + 9 x^{2} - x^{3}$

Этап 1

Изменим порядок членов.

$- x^{3} + 9 x^{2} - 15 x + 2$

Этап 2

Разложим $- x^{3} + 9 x^{2} - 15 x + 2$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Этап 2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 2$

Этап 2.3

Подставим $2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Подставим $2$ в многочлен.

$- 2^{3} + 9 \cdot 2^{2} - 15 \cdot 2 + 2$

Этап 2.3.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$- 1 \cdot 8 + 9 \cdot 2^{2} - 15 \cdot 2 + 2$

Этап 2.3.3

Умножим $- 1$ на $8$ .

$- 8 + 9 \cdot 2^{2} - 15 \cdot 2 + 2$

Этап 2.3.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- 8 + 9 \cdot 4 - 15 \cdot 2 + 2$

Этап 2.3.5

Умножим $9$ на $4$ .

$- 8 + 36 - 15 \cdot 2 + 2$

Этап 2.3.6

Добавим $- 8$ и $36$ .

$28 - 15 \cdot 2 + 2$

Этап 2.3.7

Умножим $- 15$ на $2$ .

$28 - 30 + 2$

Этап 2.3.8

Вычтем $30$ из $28$ .

$- 2 + 2$

Этап 2.3.9

Добавим $- 2$ и $2$ .

$0$

Этап 2.4

Поскольку $2$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{- x^{3} + 9 x^{2} - 15 x + 2}{x - 2}$

Этап 2.5

Разделим $- x^{3} + 9 x^{2} - 15 x + 2$ на $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$15 x$

$2$

Этап 2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$15 x$	+	$2$

Этап 2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$15 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{3} + 2 x^{2}$ .

			-	$x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$15 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$15 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$

Этап 2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$15 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$15 x$

Этап 2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $7 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$15 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$15 x$

Этап 2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$15 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$

Этап 2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $7 x^{2} - 14 x$ .

			-	$x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$15 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$15 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$

Этап 2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$15 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$15 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$x$

Этап 2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$15 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$15 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$x$	+	$2$

Этап 2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$7 x$	-	$1$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$15 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$15 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$x$	+	$2$

Этап 2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$	+	$7 x$	-	$1$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$15 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$15 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$x$	+	$2$
							-	$x$	+	$2$

Этап 2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x + 2$ .

			-	$x^{2}$	+	$7 x$	-	$1$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$15 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$15 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$x$	+	$2$
							+	$x$	-	$2$

Этап 2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$	+	$7 x$	-	$1$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$15 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$15 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$x$	+	$2$
							+	$x$	-	$2$
										$0$

Этап 2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- x^{2} + 7 x - 1$

Этап 2.6

Запишем $- x^{3} + 9 x^{2} - 15 x + 2$ в виде набора множителей.

$(x - 2) (- x^{2} + 7 x - 1)$

Этап 3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2} + 7 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$(x - 2) (- (x^{2}) + 7 x - 1)$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $7 x$ .

$(x - 2) (- (x^{2}) - (- 7 x) - 1)$

Этап 3.1.3

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$(x - 2) (- (x^{2}) - (- 7 x) - 1 (1))$

Этап 3.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (- 7 x)$ .

$(x - 2) (- (x^{2} - 7 x) - 1 (1))$

Этап 3.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - 7 x) - 1 (1)$ .

$(x - 2) (- (x^{2} - 7 x + 1))$

Этап 3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 2) \cdot - 1 (x^{2} - 7 x + 1)$

Этап 4

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$- ((x - 2) (x^{2} - 7 x + 1))$

Этап 5

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 2) (x^{2} - 7 x + 1)$