Математический анализ Примеры

$y = \frac{x^{3}}{64 - x^{2}}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{x^{3}}{64 - x^{2}}$ не определено.

$x = - 8, x = 8$

Этап 2

Поскольку $\frac{x^{3}}{64 - x^{2}}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $- 8$ слева, а $\frac{x^{3}}{64 - x^{2}}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $- 8$ справа, то $x = - 8$ — вертикальная асимптота.

$x = - 8$

Этап 3

Поскольку $\frac{x^{3}}{64 - x^{2}}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $8$ слева, а $\frac{x^{3}}{64 - x^{2}}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $8$ справа, то $x = 8$ — вертикальная асимптота.

$x = 8$

Этап 4

Перечислим все вертикальные асимптоты:

$x = - 8, 8$

Этап 5

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 6

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Этап 7

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 8

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{8^{2} - x^{2}}$

Этап 8.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 8$ и $b = x$ .

$\frac{x^{3}}{(8 + x) (8 - x)}$

Этап 8.2

Развернем $(8 + x) (8 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3}}{8 (8 - x) + x (8 - x)}$

Этап 8.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3}}{8 \cdot 8 + 8 (- x) + x (8 - x)}$

Этап 8.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3}}{8 \cdot 8 + 8 (- x) + x \cdot 8 + x (- x)}$

Этап 8.2.4

Избавимся от скобок.

$\frac{x^{3}}{8 \cdot 8 + 8 \cdot (- 1 x) + x \cdot 8 + x (- x)}$

Этап 8.2.5

Изменим порядок $x$ и $8$ .

$\frac{x^{3}}{8 \cdot 8 + 8 \cdot (- 1 x) + 8 \cdot x + x (- x)}$

Этап 8.2.6

Избавимся от скобок.

$\frac{x^{3}}{8 \cdot 8 + 8 \cdot (- 1 x) + 8 \cdot x + x \cdot (- 1 x)}$

Этап 8.2.7

Изменим порядок $x$ и $- 1$ .

$\frac{x^{3}}{8 \cdot 8 + 8 \cdot (- 1 x) + 8 x - 1 \cdot (x \cdot x)}$

Этап 8.2.8

Умножим $- 1$ на $x$ .

$\frac{x^{3}}{8 \cdot 8 + 8 \cdot (- 1 x) + 8 x - 1 x \cdot x}$

Этап 8.2.9

Умножим $8$ на $8$ .

$\frac{x^{3}}{64 + 8 \cdot (- 1 x) + 8 x - 1 x \cdot x}$

Этап 8.2.10

Умножим $8$ на $- 1$ .

$\frac{x^{3}}{64 - 8 x + 8 x - 1 x \cdot x}$

Этап 8.2.11

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{x^{3}}{64 - 8 x + 8 x - (x \cdot x)}$

Этап 8.2.12

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{3}}{64 - 8 x + 8 x - (x \cdot x)}$

Этап 8.2.13

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{3}}{64 - 8 x + 8 x - (x \cdot x)}$

Этап 8.2.14

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{3}}{64 - 8 x + 8 x - x^{1 + 1}}$

Этап 8.2.15

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x^{3}}{64 - 8 x + 8 x - x^{2}}$

Этап 8.2.16

Добавим $- 8 x$ и $8 x$ .

$\frac{x^{3}}{64 + 0 - x^{2}}$

Этап 8.2.17

Вычтем $x^{2}$ из $0$ .

$\frac{x^{3}}{64 - x^{2}}$

Этап 8.2.18

Изменим порядок $64$ и $- x^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{- x^{2} + 64}$

Этап 8.3

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 8.4

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $- x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 8.5

Умножим новое частное на делитель.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$64 x$

Этап 8.6

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + 0 - 64 x$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$64 x$

Этап 8.7

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$64 x$

Этап 8.8

Вынесем следующий член из исходного делимого в текущее делимое.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$64 x$

$0$

Этап 8.9

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$- x + \frac{64 x}{- x^{2} + 64}$

Этап 8.10

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = - x$

Этап 9

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - 8, 8$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = - x$

Этап 10