Математический анализ Примеры

$f (x) = x + \frac{108}{x^{2}}$

Этап 1

Найдем, где выражение $x + \frac{108}{x^{2}}$ не определено.

$x = 0$

Этап 2

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 3

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Этап 4

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 5

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Чтобы записать $x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{x \cdot x^{2}}{x^{2}} + \frac{108}{x^{2}}$

Этап 5.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x \cdot x^{2} + 108}{x^{2}}$

Этап 5.1.3

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{1} x^{2} + 108}{x^{2}}$

Этап 5.1.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{1 + 2} + 108}{x^{2}}$

Этап 5.1.3.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{x^{3} + 108}{x^{2}}$

Этап 5.1.4

Упростим.

$\frac{x^{3} + 108}{x^{2}}$

Этап 5.2

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$108$

Этап 5.3

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$108$

Этап 5.4

Умножим новое частное на делитель.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$108$

$x^{3}$

$0$

Этап 5.5

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + 0 + 0$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$108$

$x^{3}$

$0$

Этап 5.6

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

						$x$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$108$
					-	$x^{3}$	-	$0$	-	$0$
										$0$

Этап 5.7

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

						$x$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$108$
					-	$x^{3}$	-	$0$	-	$0$
										$0$	+	$108$

Этап 5.8

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$x + \frac{108}{x^{2}}$

Этап 5.9

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = x$

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = 0$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = x$

Этап 7