Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 1

Запишем интеграл в виде предела, когда $t$ стремится к $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{- 2} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} - x^{- 1}]_{1}^{t}$

Этап 4

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение $- x^{- 1}$ в $t$ и в $1$ .

$lim_{t \to \infty} (- t^{- 1}) + 1^{- 1}$

Этап 4.2

Единица в любой степени равна единице.

$lim_{t \to \infty} - t^{- 1} + 1$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $\infty$ .

$- lim_{t \to \infty} t^{- 1} + lim_{t \to \infty} 1$

Этап 5.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} + lim_{t \to \infty} 1$

Этап 5.3

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{t}$ стремится к $0$ .

$- 0 + lim_{t \to \infty} 1$

Этап 5.4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $t$ к $\infty$ .

$0 + 1$

Этап 5.4.2

Добавим $0$ и $1$ .

$1$