Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x}{\sqrt{25 x^{2} + 5}}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{x}{\sqrt{25 x^{2} + 5}}$ не определено.

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 2

Вертикальные асимптоты находятся в точках бесконечного разрыва непрерывности.

Нет вертикальных асимптот

Этап 3

Вычислим $lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{25 x^{2} + 5}}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $5$ из $25 x^{2} + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $5$ из $25 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{5 (5 x^{2}) + 5}}$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{5 (5 x^{2}) + 5 (1)}}$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (5 x^{2}) + 5 (1)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{5 (5 x^{2} + 1)}}$

Этап 3.2

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

Этап 3.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

Этап 3.3.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

Этап 3.3.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

Этап 3.3.4

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

Этап 3.3.5

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{5 lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} + 1}{x^{2}}}}$

Этап 3.4

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}$

Этап 3.5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sqrt{5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}$

Этап 3.5.1.2

Разделим $5$ на $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{5 lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}$

Этап 3.5.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sqrt{5 lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}$

Этап 3.5.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sqrt{5 lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{2}}}{1}}}$

Этап 3.5.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{5 \frac{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Этап 3.5.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{5 \frac{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Этап 3.5.5

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{5 \frac{5 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Этап 3.6

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{5 \frac{5 + 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Этап 3.7

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{5 \frac{5 + 0}{1}}}$

Этап 3.7.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Разделим $5 + 0$ на $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{5 (5 + 0)}}$

Этап 3.7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.1

Добавим $5$ и $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{5 \cdot 5}}$

Этап 3.7.2.2.2

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{1}{\sqrt{25}}$

Этап 3.7.2.2.3

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{5^{2}}}$

Этап 3.7.2.2.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{1}{5}$

Этап 4

Вычислим $lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{25 x^{2} + 5}}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $5$ из $25 x^{2} + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $5$ из $25 x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{5 (5 x^{2}) + 5}}$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{5 (5 x^{2}) + 5 (1)}}$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (5 x^{2}) + 5 (1)$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{5 (5 x^{2} + 1)}}$

Этап 4.2

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

Этап 4.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

Этап 4.3.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

Этап 4.3.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

Этап 4.3.4

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

Этап 4.3.5

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

Этап 4.3.6

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{- \sqrt{5 lim_{x \to - \infty} \frac{5 x^{2} + 1}{x^{2}}}}$

Этап 4.4

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{2}$ .

$\frac{1}{- \sqrt{5 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}$

Этап 4.5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{- \sqrt{5 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}$

Этап 4.5.1.2

Разделим $5$ на $1$ .

$\frac{1}{- \sqrt{5 lim_{x \to - \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}$

Этап 4.5.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{- \sqrt{5 lim_{x \to - \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}$

Этап 4.5.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{- \sqrt{5 lim_{x \to - \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{2}}}{1}}}$

Этап 4.5.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{1}{- \sqrt{5 \frac{lim_{x \to - \infty} 5 + \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Этап 4.5.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{1}{- \sqrt{5 \frac{lim_{x \to - \infty} 5 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Этап 4.5.5

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{1}{- \sqrt{5 \frac{5 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Этап 4.6

$\frac{1}{- \sqrt{5 \frac{5 + 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Этап 4.7

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{1}{- \sqrt{5 \frac{5 + 0}{1}}}$

Этап 4.7.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.1

Разделим $5 + 0$ на $1$ .

$\frac{1}{- \sqrt{5 (5 + 0)}}$

Этап 4.7.2.2

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.2.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{5 (5 + 0)}}$

Этап 4.7.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{\sqrt{5 (5 + 0)}}$

Этап 4.7.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.3.1

Добавим $5$ и $0$ .

$- \frac{1}{\sqrt{5 \cdot 5}}$

Этап 4.7.2.3.2

Умножим $5$ на $5$ .

$- \frac{1}{\sqrt{25}}$

Этап 4.7.2.3.3

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{5^{2}}}$

Этап 4.7.2.3.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$- \frac{1}{5}$

Этап 5

Перечислим горизонтальные асимптоты:

$y = \frac{1}{5}, - \frac{1}{5}$

Этап 6

Применим деление многочленов для нахождения наклонных асимптот. Поскольку это выражение содержит радикал, полиномиальное деление невозможно.

Не удается найти наклонные асимптоты

Этап 7

Это множество всех асимптот.

Нет вертикальных асимптот

Горизонтальные асимптоты: $y = \frac{1}{5}, - \frac{1}{5}$

Не удается найти наклонные асимптоты

Этап 8