Математический анализ Примеры

${(n + 1)}^{4} - 1$

Этап 1

Перепишем ${(n + 1)}^{4}$ в виде ${({(n + 1)}^{2})}^{2}$ .

${({(n + 1)}^{2})}^{2} - 1$

Этап 2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

${({(n + 1)}^{2})}^{2} - 1^{2}$

Этап 3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = {(n + 1)}^{2}$ и $b = 1$ .

$({(n + 1)}^{2} + 1) ({(n + 1)}^{2} - 1)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем ${(n + 1)}^{2}$ в виде $(n + 1) (n + 1)$ .

$((n + 1) (n + 1) + 1) ({(n + 1)}^{2} - 1)$

Этап 4.2

Развернем $(n + 1) (n + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(n (n + 1) + 1 (n + 1) + 1) ({(n + 1)}^{2} - 1)$

Этап 4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(n \cdot n + n \cdot 1 + 1 (n + 1) + 1) ({(n + 1)}^{2} - 1)$

Этап 4.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(n \cdot n + n \cdot 1 + 1 n + 1 \cdot 1 + 1) ({(n + 1)}^{2} - 1)$

Этап 4.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Умножим $n$ на $n$ .

$(n^{2} + n \cdot 1 + 1 n + 1 \cdot 1 + 1) ({(n + 1)}^{2} - 1)$

Этап 4.3.1.2

Умножим $n$ на $1$ .

$(n^{2} + n + 1 n + 1 \cdot 1 + 1) ({(n + 1)}^{2} - 1)$

Этап 4.3.1.3

Умножим $n$ на $1$ .

$(n^{2} + n + n + 1 \cdot 1 + 1) ({(n + 1)}^{2} - 1)$

Этап 4.3.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$(n^{2} + n + n + 1 + 1) ({(n + 1)}^{2} - 1)$

Этап 4.3.2

Добавим $n$ и $n$ .

$(n^{2} + 2 n + 1 + 1) ({(n + 1)}^{2} - 1)$

Этап 4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$(n^{2} + 2 n + 2) ({(n + 1)}^{2} - 1)$

Этап 4.5

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$(n^{2} + 2 n + 2) ({(n + 1)}^{2} - 1^{2})$

Этап 4.6

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = n + 1$ и $b = 1$ .

$(n^{2} + 2 n + 2) ((n + 1 + 1) (n + 1 - 1))$

Этап 4.7

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1.1

Добавим $1$ и $1$ .

$(n^{2} + 2 n + 2) ((n + 2) (n + 1 - 1))$

Этап 4.7.1.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$(n^{2} + 2 n + 2) ((n + 2) (n + 0))$

Этап 4.7.1.3

Добавим $n$ и $0$ .

$(n^{2} + 2 n + 2) ((n + 2) n)$

Этап 4.7.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(n^{2} + 2 n + 2) (n + 2) n$