Математический анализ Примеры

${(y + z)}^{3} - 125$

Этап 1

Перепишем $125$ в виде $5^{3}$ .

${(y + z)}^{3} - 5^{3}$

Этап 2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = y + z$ и $b = 5$ .

$(y + z - 5) ({(y + z)}^{2} + (y + z) \cdot 5 + 5^{2})$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем ${(y + z)}^{2}$ в виде $(y + z) (y + z)$ .

$(y + z - 5) ((y + z) (y + z) + (y + z) \cdot 5 + 5^{2})$

Этап 3.2

Развернем $(y + z) (y + z)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(y + z - 5) (y (y + z) + z (y + z) + (y + z) \cdot 5 + 5^{2})$

Этап 3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(y + z - 5) (y \cdot y + y z + z (y + z) + (y + z) \cdot 5 + 5^{2})$

Этап 3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(y + z - 5) (y \cdot y + y z + z y + z \cdot z + (y + z) \cdot 5 + 5^{2})$

Этап 3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Умножим $y$ на $y$ .

$(y + z - 5) (y^{2} + y z + z y + z \cdot z + (y + z) \cdot 5 + 5^{2})$

Этап 3.3.1.2

Умножим $z$ на $z$ .

$(y + z - 5) (y^{2} + y z + z y + z^{2} + (y + z) \cdot 5 + 5^{2})$

Этап 3.3.2

Добавим $y z$ и $z y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Изменим порядок $z$ и $y$ .

$(y + z - 5) (y^{2} + y z + y z + z^{2} + (y + z) \cdot 5 + 5^{2})$

Этап 3.3.2.2

Добавим $y z$ и $y z$ .

$(y + z - 5) (y^{2} + 2 y z + z^{2} + (y + z) \cdot 5 + 5^{2})$

Этап 3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$(y + z - 5) (y^{2} + 2 y z + z^{2} + y \cdot 5 + z \cdot 5 + 5^{2})$

Этап 3.5

Перенесем $5$ влево от $y$ .

$(y + z - 5) (y^{2} + 2 y z + z^{2} + 5 \cdot y + z \cdot 5 + 5^{2})$

Этап 3.6

Перенесем $5$ влево от $z$ .

$(y + z - 5) (y^{2} + 2 y z + z^{2} + 5 y + 5 z + 5^{2})$

Этап 3.7

Возведем $5$ в степень $2$ .

$(y + z - 5) (y^{2} + 2 y z + z^{2} + 5 y + 5 z + 25)$