Математический анализ Примеры

$y = x^{2} \sin (4 x)$

Этап 1

Приравняем $x^{2} \sin (4 x)$ к $0$ .

$x^{2} \sin (4 x) = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$\sin (4 x) = 0$

Этап 2.2

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 2.2.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 2.2.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.2.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 2.2.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 2.3

Приравняем $\sin (4 x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $\sin (4 x)$ к $0$ .

$\sin (4 x) = 0$

Этап 2.3.2

Решим $\sin (4 x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$4 x = \arcsin (0)$

Этап 2.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$4 x = 0$

Этап 2.3.2.3

Разделим каждый член $4 x = 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Разделим каждый член $4 x = 0$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 2.3.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 2.3.2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Этап 2.3.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.3.1

Разделим $0$ на $4$ .

$x = 0$

Этап 2.3.2.4

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$4 x = π - 0$

Этап 2.3.2.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.5.1.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$4 x = π + 0$

Этап 2.3.2.5.1.2

Добавим $π$ и $0$ .

$4 x = π$

Этап 2.3.2.5.2

Разделим каждый член $4 x = π$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.5.2.1

Разделим каждый член $4 x = π$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4}$

Этап 2.3.2.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.5.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4}$

Этап 2.3.2.5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 2.3.2.6

Найдем период $\sin (4 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.3.2.6.2

Заменим $b$ на $4$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Этап 2.3.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Этап 2.3.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.6.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Этап 2.3.2.6.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.6.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 2.3.2.6.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 2.3.2.6.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{2}$

Этап 2.3.2.7

Период функции $\sin (4 x)$ равен $\frac{π}{2}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{π}{2}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{2} \sin (4 x) = 0$ верно. Кратность корня ― это количество появлений этого корня.

$x = 0$ (кратно $2$ )

$x = \frac{π n}{2}$ (кратно $1$ )

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ (кратно $1$ )

Этап 2.5

Объединим ответы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Объединим $0$ и $\frac{π n}{2}$ в $\frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 2.5.2

Объединим ответы.

$x = \frac{π n}{4}$ (кратно $1$ )

Этап 3