Математический анализ Примеры

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 80$

Этап 1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 80$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 36 x^{2} + 96 x - 80$

Этап 1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 36 x^{2}$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 96 x - 80$

Этап 1.3

Вынесем множитель $4$ из $96 x$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (24 x) - 80$

Этап 1.4

Вынесем множитель $4$ из $- 80$ .

$4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (24 x) + 4 \cdot - 20$

Этап 1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2})$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (24 x) + 4 \cdot - 20$

Этап 1.6

Вынесем множитель $4$ из $4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (24 x)$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 \cdot - 20$

Этап 1.7

Вынесем множитель $4$ из $4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 \cdot - 20$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 20)$

Этап 2

Разложим $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 20$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1$

Этап 2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

Этап 2.3

Подставим $2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Подставим $2$ в многочлен.

$2^{3} - 9 \cdot 2^{2} + 24 \cdot 2 - 20$

Этап 2.3.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$8 - 9 \cdot 2^{2} + 24 \cdot 2 - 20$

Этап 2.3.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$8 - 9 \cdot 4 + 24 \cdot 2 - 20$

Этап 2.3.4

Умножим $- 9$ на $4$ .

$8 - 36 + 24 \cdot 2 - 20$

Этап 2.3.5

Вычтем $36$ из $8$ .

$- 28 + 24 \cdot 2 - 20$

Этап 2.3.6

Умножим $24$ на $2$ .

$- 28 + 48 - 20$

Этап 2.3.7

Добавим $- 28$ и $48$ .

$20 - 20$

Этап 2.3.8

Вычтем $20$ из $20$ .

$0$

Этап 2.4

Поскольку $2$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 20}{x - 2}$

Этап 2.5

Разделим $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 20$ на $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$24 x$

$20$

Этап 2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$

Этап 2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$

Этап 2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$

Этап 2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 7 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$

Этап 2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$

Этап 2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 7 x^{2} + 14 x$ .

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$

Этап 2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$10 x$

Этап 2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$10 x$	-	$20$

Этап 2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $10 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$10 x$	-	$20$

Этап 2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$10 x$	-	$20$
							+	$10 x$	-	$20$

Этап 2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $10 x - 20$ .

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$10 x$	-	$20$
							-	$10 x$	+	$20$

Этап 2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$10 x$	-	$20$
							-	$10 x$	+	$20$
										$0$

Этап 2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 7 x + 10$

Этап 2.6

Запишем $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 20$ в виде набора множителей.

$4 ((x - 2) (x^{2} - 7 x + 10))$

Этап 3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разложим $x^{2} - 7 x + 10$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разложим $x^{2} - 7 x + 10$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $10$ , а сумма — $- 7$ .

$- 5, - 2$

Этап 3.1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$4 ((x - 2) ((x - 5) (x - 2)))$

Этап 3.1.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 ((x - 2) (x - 5) (x - 2))$

Этап 3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 (x - 2) (x - 5) (x - 2)$

Этап 4

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $x - 2$ в степень $1$ .

$4 ({(x - 2)}^{1} (x - 2)) (x - 5)$

Этап 4.2

Возведем $x - 2$ в степень $1$ .

$4 ({(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1}) (x - 5)$

Этап 4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 {(x - 2)}^{1 + 1} (x - 5)$

Этап 4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$4 {(x - 2)}^{2} (x - 5)$