Математический анализ Примеры

$2 (\sqrt{- 3 x + 5}) + 3$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 2 \sqrt{- 3 x + 5} d x + \int 3 d x$

Этап 2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \sqrt{- 3 x + 5} d x + \int 3 d x$

Этап 3

Пусть $u = - 3 x + 5$ . Тогда $d u = - 3 d x$ , следовательно $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = - 3 x + 5$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $- 3 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x + 5]$

Этап 3.1.2

По правилу суммы производная $- 3 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 3.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 3.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 3.1.3.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$- 3 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 3.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 3 + 0$

Этап 3.1.4.2

Добавим $- 3$ и $0$ .

$- 3$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$2 \int \sqrt{u} \frac{1}{- 3} d u + \int 3 d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 \int \sqrt{u} (- \frac{1}{3}) d u + \int 3 d x$

Этап 4.2

Объединим $\sqrt{u}$ и $\frac{1}{3}$ .

$2 \int - \frac{\sqrt{u}}{3} d u + \int 3 d x$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 (- \int \frac{\sqrt{u}}{3} d u) + \int 3 d x$

Этап 6

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \int \frac{\sqrt{u}}{3} d u + \int 3 d x$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$- 2 (\frac{1}{3} \int \sqrt{u} d u) + \int 3 d x$

Этап 8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 2$ .

$\frac{- 2}{3} \int \sqrt{u} d u + \int 3 d x$

Этап 8.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{3} \int \sqrt{u} d u + \int 3 d x$

Этап 8.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2}{3} \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int 3 d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{2}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int 3 d x$

Этап 10

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- \frac{2}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + 3 x + C$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим.

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 3 x + C$

Этап 11.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + 3 x + C$

Этап 11.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{4}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + 3 x + C$

Этап 11.2.3

Умножим $3$ на $3$ .

$- \frac{4}{9} u^{\frac{3}{2}} + 3 x + C$

Этап 12

Заменим все вхождения $u$ на $- 3 x + 5$ .

$- \frac{4}{9} {(- 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}} + 3 x + C$