Математический анализ Примеры

$\sqrt{3 x}$

Этап 1

Запишем $\sqrt{3 x}$ в виде функции.

$f (x) = \sqrt{3 x}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \sqrt{3 x} d x$

Этап 4

Пусть $u = 3 x$ . Тогда $d u = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = 3 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 4.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 4.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Этап 5

Объединим $\sqrt{u}$ и $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int \sqrt{u} d u$

Этап 7

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 8

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ в виде $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 9.2.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{2}{9} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$\frac{2}{9} {(3 x)}^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \sqrt{3 x}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{9} {(3 x)}^{\frac{3}{2}} + C$