Математический анализ Примеры

$3 x {(2 x + 3)}^{- 0.5}$

Этап 1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int x {(2 x + 3)}^{- 0.5} d x$

Этап 2

Пусть $u_{1} = 2 x + 3$ . Тогда $d u_{1} = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u_{1} = 2 x + 3$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $2 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $2 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 2.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$3 \int (\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}) {u_{1}}^{- 0.5} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${u_{1}}^{- 0.5}$ .

$3 \int (\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}) \frac{{u_{1}}^{- 0.5}}{2} d u_{1}$

Этап 3.2

Перенесем ${u_{1}}^{- 0.5}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 \int (\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2 {u_{1}}^{0.5}} d u_{1}$

Этап 4

Пусть $u_{2} = 2 {u_{1}}^{0.5}$ . Тогда $d u_{2} = \frac{1}{{u_{1}}^{0.5}} d u_{1}$ , следовательно ${u_{1}}^{0.5} d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u_{2} = 2 {u_{1}}^{0.5}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $2 {u_{1}}^{0.5}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 {u_{1}}^{0.5}]$

Этап 4.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $2 {u_{1}}^{0.5}$ по $u_{1}$ равна $2 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{0.5}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{0.5}]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 0.5$ .

$2 (0.5 {u_{1}}^{- 0.5})$

Этап 4.1.4

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Умножим $0.5$ на $2$ .

$1 {u_{1}}^{- 0.5}$

Этап 4.1.4.2

Умножим ${u_{1}}^{- 0.5}$ на $1$ .

${u_{1}}^{- 0.5}$

Этап 4.1.5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{u_{1}}^{0.5}}$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$3 \int (\frac{\frac{{u_{2}}^{2}}{4}}{2} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $\frac{\frac{{u_{2}}^{2}}{4}}{2}$ в виде произведения.

$3 \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} \cdot \frac{1}{2} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 5.2

Умножим $\frac{{u_{2}}^{2}}{4}$ на $\frac{1}{2}$ .

$3 \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4 \cdot 2} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 5.3

Умножим $4$ на $2$ .

$3 \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{8} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{1}{2} \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 1 \cdot 3) \frac{1}{2} d u_{2})$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$3 (\frac{1}{2} \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3) \frac{1}{2} d u_{2})$

Этап 7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $3$ .

$\frac{3}{2} \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3) \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3 d u_{2})$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3 d u_{2}$

Этап 9.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{3}{4} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3 d u_{2}$

Этап 10

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{3}{4} (\int \frac{{u_{2}}^{2}}{4} d u_{2} + \int - 3 d u_{2})$

Этап 11

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{3}{4} (\frac{1}{4} \int {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int - 3 d u_{2})$

Этап 12

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{2}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{1}{4} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \int - 3 d u_{2})$

Этап 13

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{3}{4} (\frac{1}{4} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) - 3 u_{2} + C)$

Этап 14

Упростим.

$\frac{3}{4} (\frac{{u_{2}}^{3}}{12} - 3 u_{2}) + C$

Этап 15

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 {u_{1}}^{0.5}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{{(2 {u_{1}}^{0.5})}^{3}}{12} - 3 (2 {u_{1}}^{0.5})) + C$

Этап 15.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x + 3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{{(2 {(2 x + 3)}^{0.5})}^{3}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Этап 16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1.1

Применим правило умножения к $2 {(2 x + 3)}^{0.5}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2^{3} {({(2 x + 3)}^{0.5})}^{3}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Этап 16.1.1.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{8 {({(2 x + 3)}^{0.5})}^{3}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Этап 16.1.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(2 x + 3)}^{0.5})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{8 {(2 x + 3)}^{0.5 \cdot 3}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Этап 16.1.1.3.2

Умножим $0.5$ на $3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{8 {(2 x + 3)}^{1.5}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Этап 16.1.2

Сократим общий множитель $8$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8 {(2 x + 3)}^{1.5}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4 (2 {(2 x + 3)}^{1.5})}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Этап 16.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4 (2 {(2 x + 3)}^{1.5})}{4 (3)} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Этап 16.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{4} (\frac{4 (2 {(2 x + 3)}^{1.5})}{4 \cdot 3} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Этап 16.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{4} (\frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5}}{3} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Этап 16.1.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5}}{3} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Этап 16.2

Чтобы записать $- 6 {(2 x + 3)}^{0.5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5}}{3} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Этап 16.3

Объединим $- 6 {(2 x + 3)}^{0.5}$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5}}{3} + \frac{- 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 3}{3}) + C$

Этап 16.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 3}{3} + C$

Этап 16.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 3}{3} + C$

Этап 16.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} (2 {(2 x + 3)}^{1.5} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 3) + C$

Этап 16.6

Умножим $3$ на $- 6$ .

$\frac{1}{4} (2 {(2 x + 3)}^{1.5} - 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Этап 16.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{4} (2 {(2 x + 3)}^{1.5}) + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Этап 16.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.8.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 {(2 x + 3)}^{1.5}) + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Этап 16.8.2

Вынесем множитель $2$ из $2 {(2 x + 3)}^{1.5}$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 ({(2 x + 3)}^{1.5})) + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Этап 16.8.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 {(2 x + 3)}^{1.5}) + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Этап 16.8.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} {(2 x + 3)}^{1.5} + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Этап 16.9

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(2 x + 3)}^{1.5}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Этап 16.10

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.10.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{2 (2)} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Этап 16.10.2

Вынесем множитель $2$ из $- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{2 (2)} (2 (- 9 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Этап 16.10.3

Сократим общий множитель.

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (- 9 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Этап 16.10.4

Перепишем это выражение.

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{2} (- 9 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Этап 16.11

Объединим $- 9$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{- 9}{2} {(2 x + 3)}^{0.5} + C$

Этап 16.12

Объединим $\frac{- 9}{2}$ и ${(2 x + 3)}^{0.5}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{- 9 {(2 x + 3)}^{0.5}}{2} + C$

Этап 16.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5} - 9 {(2 x + 3)}^{0.5}}{2} + C$

Этап 16.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.14.1

Вынесем множитель ${(2 x + 3)}^{0.5}$ из ${(2 x + 3)}^{1.5} - 9 {(2 x + 3)}^{0.5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.14.1.1

Вынесем множитель ${(2 x + 3)}^{0.5}$ из ${(2 x + 3)}^{1.5}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 3) - 9 {(2 x + 3)}^{0.5}}{2} + C$

Этап 16.14.1.2

Вынесем множитель ${(2 x + 3)}^{0.5}$ из $- 9 {(2 x + 3)}^{0.5}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 3) + {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot - 9}{2} + C$

Этап 16.14.1.3

Вынесем множитель ${(2 x + 3)}^{0.5}$ из ${(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 3) + {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot - 9$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 3 - 9)}{2} + C$

Этап 16.14.2

Вычтем $9$ из $3$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x - 6)}{2} + C$

Этап 16.14.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.14.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 (x) - 6)}{2} + C$

Этап 16.14.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 2 \cdot - 3)}{2} + C$

Этап 16.14.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2 \cdot - 3$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 (x - 3))}{2} + C$

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 2 (x - 3)}{2} + C$

Этап 16.15

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.15.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 2 (x - 3)}{2} + C$

Этап 16.15.2

Разделим ${(2 x + 3)}^{0.5} (x - 3)$ на $1$ .

${(2 x + 3)}^{0.5} (x - 3) + C$

Этап 16.16

Применим свойство дистрибутивности.

${(2 x + 3)}^{0.5} x + {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot - 3 + C$

Этап 16.17

Перенесем $- 3$ влево от ${(2 x + 3)}^{0.5}$ .

${(2 x + 3)}^{0.5} x - 3 \cdot {(2 x + 3)}^{0.5} + C$

Этап 16.18

Изменим порядок множителей в ${(2 x + 3)}^{0.5} x - 3 {(2 x + 3)}^{0.5}$ .

$x {(2 x + 3)}^{0.5} - 3 {(2 x + 3)}^{0.5} + C$