Математический анализ Примеры

$\tan^{6} (x)$

Этап 1

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\int {\tan (x)}^{2 (3)} d x$

Этап 1.2

Перепишем ${\tan (x)}^{2 (3)}$ в виде степенного выражения.

$\int {(\tan^{2} (x))}^{3} d x$

Этап 2

Используя формулы Пифагора, запишем $\tan^{2} (x)$ в виде $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int {(- 1 + \sec^{2} (x))}^{3} d x$

Этап 3

Упростим.

$\int - 1 + 3 \sec^{2} (x) - 3 \sec^{4} (x) + \sec^{6} (x) d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - 1 d x + \int 3 \sec^{2} (x) d x + \int - 3 \sec^{4} (x) d x + \int \sec^{6} (x) d x$

Этап 5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- x + C + \int 3 \sec^{2} (x) d x + \int - 3 \sec^{4} (x) d x + \int \sec^{6} (x) d x$

Этап 6

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$- x + C + 3 \int \sec^{2} (x) d x + \int - 3 \sec^{4} (x) d x + \int \sec^{6} (x) d x$

Этап 7

Поскольку производная $\tan (x)$ равна $\sec^{2} (x)$ , интеграл $\sec^{2} (x)$ равен $\tan (x)$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) + \int - 3 \sec^{4} (x) d x + \int \sec^{6} (x) d x$

Этап 8

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 \int \sec^{4} (x) d x + \int \sec^{6} (x) d x$

Этап 9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Запишем $4$ как $2$ плюс $2$

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 \int {\sec (x)}^{2 + 2} d x + \int \sec^{6} (x) d x$

Этап 9.2

Перепишем ${\sec (x)}^{2 + 2}$ в виде $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 \int \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{6} (x) d x$

Этап 10

Используя формулы Пифагора, запишем $\sec^{2} (x)$ в виде $1 + \tan^{2} (x)$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 \int (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{6} (x) d x$

Этап 11

Пусть $u_{1} = \tan (x)$ . Тогда $d u_{1} = \sec^{2} (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Пусть $u_{1} = \tan (x)$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Дифференцируем $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 11.1.2

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Этап 11.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 \int 1 + {u_{1}}^{2} d u_{1} + \int \sec^{6} (x) d x$

Этап 12

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (\int d u_{1} + \int {u_{1}}^{2} d u_{1}) + \int \sec^{6} (x) d x$

Этап 13

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \int {u_{1}}^{2} d u_{1}) + \int \sec^{6} (x) d x$

Этап 14

По правилу степени интеграл ${u_{1}}^{2}$ по $u_{1}$ имеет вид $\frac{1}{3} {u_{1}}^{3}$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{1}{3} {u_{1}}^{3} + C) + \int \sec^{6} (x) d x$

Этап 15

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${u_{1}}^{3}$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int \sec^{6} (x) d x$

Этап 15.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Запишем $6$ как $4$ плюс $2$

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int {\sec (x)}^{4 + 2} d x$

Этап 15.2.2

Перепишем ${\sec (x)}^{4 + 2}$ в виде $\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int \sec^{4} (x) \sec^{2} (x) d x$

Этап 15.3

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int {\sec (x)}^{2 (2)} \sec^{2} (x) d x$

Этап 15.4

Перепишем ${\sec (x)}^{2 (2)}$ в виде степенного выражения.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int {(\sec^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x) d x$

Этап 16

Используя формулы Пифагора, запишем $\sec^{2} (x)$ в виде $1 + \tan^{2} (x)$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int {(1 + \tan^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x) d x$

Этап 17

Пусть $u_{2} = \tan (x)$ . Тогда $d u_{2} = \sec^{2} (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Пусть $u_{2} = \tan (x)$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Дифференцируем $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 17.1.2

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Этап 17.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int {(1 + {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2}$

Этап 18

Развернем ${(1 + {u_{2}}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Перепишем ${(1 + {u_{2}}^{2})}^{2}$ в виде $(1 + {u_{2}}^{2}) (1 + {u_{2}}^{2})$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int (1 + {u_{2}}^{2}) (1 + {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Этап 18.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int 1 (1 + {u_{2}}^{2}) + {u_{2}}^{2} (1 + {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Этап 18.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int 1 \cdot 1 + 1 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (1 + {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Этап 18.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int 1 \cdot 1 + 1 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} \cdot 1 + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Этап 18.5

Изменим порядок ${u_{2}}^{2}$ и $1$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int 1 \cdot 1 + 1 {u_{2}}^{2} + 1 \cdot {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Этап 18.6

Умножим $1$ на $1$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int 1 + 1 {u_{2}}^{2} + 1 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Этап 18.7

Умножим ${u_{2}}^{2}$ на $1$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int 1 + {u_{2}}^{2} + 1 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Этап 18.8

Умножим ${u_{2}}^{2}$ на $1$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int 1 + {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Этап 18.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int 1 + {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2}$

Этап 18.10

Добавим $2$ и $2$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int 1 + {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Этап 18.11

Добавим ${u_{2}}^{2}$ и ${u_{2}}^{2}$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int 1 + 2 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Этап 18.12

Изменим порядок $2 {u_{2}}^{2}$ и ${u_{2}}^{4}$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int 1 + {u_{2}}^{4} + 2 {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Этап 18.13

Перенесем $1$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int {u_{2}}^{4} + 2 {u_{2}}^{2} + 1 d u_{2}$

Этап 19

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2}$

Этап 20

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{4}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + \int 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2}$

Этап 21

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + 2 \int {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2}$

Этап 22

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{2}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \int d u_{2}$

Этап 23

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${u_{2}}^{3}$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + \int d u_{2}$

Этап 24

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + u_{2} + C$

Этап 25

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.1

Упростим.

$- x + 3 \tan (x) - 3 u_{1} - {u_{1}}^{3} + \frac{{u_{2}}^{5}}{5} + \frac{2 {u_{2}}^{3}}{3} + u_{2} + C$

Этап 25.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.2.1

Чтобы записать $- {u_{1}}^{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- x + 3 \tan (x) - 3 u_{1} + \frac{{u_{2}}^{5}}{5} - {u_{1}}^{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{3}}{3} + u_{2} + C$

Этап 25.2.2

Объединим $- {u_{1}}^{3}$ и $\frac{3}{3}$ .

$- x + 3 \tan (x) - 3 u_{1} + \frac{{u_{2}}^{5}}{5} + \frac{- {u_{1}}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{3}}{3} + u_{2} + C$

Этап 25.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$- x + 3 \tan (x) - 3 u_{1} + \frac{{u_{2}}^{5}}{5} + \frac{- {u_{1}}^{3} \cdot 3 + 2 {u_{2}}^{3}}{3} + u_{2} + C$

Этап 25.2.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- x + 3 \tan (x) - 3 u_{1} + \frac{{u_{2}}^{5}}{5} + \frac{- 3 {u_{1}}^{3} + 2 {u_{2}}^{3}}{3} + u_{2} + C$

Этап 25.2.5

Добавим $- 3 {u_{1}}^{3}$ и $2 {u_{2}}^{3}$ .

$- x + 3 \tan (x) - 3 u_{1} + \frac{{u_{2}}^{5}}{5} + \frac{- {u_{1}}^{3}}{3} + u_{2} + C$

Этап 25.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- x + 3 \tan (x) - 3 u_{1} + \frac{{u_{2}}^{5}}{5} - \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + u_{2} + C$

Этап 25.2.7

Добавим $- 3 u_{1}$ и $u_{2}$ .

$- x + 3 \tan (x) + \frac{{u_{2}}^{5}}{5} - \frac{{u_{1}}^{3}}{3} - 2 u_{1} + C$

Этап 26

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\tan (x)$ .

$- x + 3 \tan (x) + \frac{\tan^{5} (x)}{5} - \frac{{u_{1}}^{3}}{3} - 2 u_{1} + C$

Этап 26.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\tan (x)$ .

$- x + 3 \tan (x) + \frac{\tan^{5} (x)}{5} - \frac{\tan^{3} (x)}{3} - 2 \tan (x) + C$

Этап 27

Изменим порядок членов.

$- x + 3 \tan (x) + \frac{1}{5} \tan^{5} (x) - \frac{1}{3} \tan^{3} (x) - 2 \tan (x) + C$