Математический анализ Примеры

$e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x}$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int e^{2 x} d x + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Этап 2

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Тогда $d u_{1} = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 2.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Этап 3

Объединим $e^{u_{1}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Этап 5

Интеграл $e^{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C + \int e^{- 2 x} d x$

Этап 7

Пусть $u_{2} = - 2 x$ . Тогда $d u_{2} = - 2 d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u_{2} = - 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 7.1.2

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Этап 7.1.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2$

Этап 7.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C + \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C + \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Этап 8.2

Объединим $e^{u_{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C + \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C - \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Этап 10

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C - (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Этап 11

Интеграл $e^{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C - \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C)$

Этап 12

Упростим.

$\frac{1}{2} e^{u_{1}} + 2 x - \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

Этап 13

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 x - \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

Этап 13.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- 2 x$ .

$\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 x - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C$