Математический анализ Примеры

${(e^{- 2 x} + 1)}^{3}$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$\int {(e^{- 2 x})}^{3} + 3 {(e^{- 2 x})}^{2} \cdot 1 + 3 e^{- 2 x} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

Этап 1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{- 2 x})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int e^{- 2 x \cdot 3} + 3 {(e^{- 2 x})}^{2} \cdot 1 + 3 e^{- 2 x} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

Этап 1.2.1.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\int e^{- 6 x} + 3 {(e^{- 2 x})}^{2} \cdot 1 + 3 e^{- 2 x} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

Этап 1.2.2

Перемножим экспоненты в ${(e^{- 2 x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int e^{- 6 x} + 3 e^{- 2 x \cdot 2} \cdot 1 + 3 e^{- 2 x} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

Этап 1.2.2.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\int e^{- 6 x} + 3 e^{- 4 x} \cdot 1 + 3 e^{- 2 x} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

Этап 1.2.3

Умножим $3$ на $1$ .

$\int e^{- 6 x} + 3 e^{- 4 x} + 3 e^{- 2 x} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

Этап 1.2.4

Единица в любой степени равна единице.

$\int e^{- 6 x} + 3 e^{- 4 x} + 3 e^{- 2 x} \cdot 1 + 1^{3} d x$

Этап 1.2.5

Умножим $3$ на $1$ .

$\int e^{- 6 x} + 3 e^{- 4 x} + 3 e^{- 2 x} + 1^{3} d x$

Этап 1.2.6

Единица в любой степени равна единице.

$\int e^{- 6 x} + 3 e^{- 4 x} + 3 e^{- 2 x} + 1 d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int e^{- 6 x} d x + \int 3 e^{- 4 x} d x + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Этап 3

Пусть $u_{1} = - 6 x$ . Тогда $d u_{1} = - 6 d x$ , следовательно $- \frac{1}{6} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u_{1} = - 6 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $- 6 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x]$

Этап 3.1.2

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 6 \cdot 1$

Этап 3.1.4

Умножим $- 6$ на $1$ .

$- 6$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{- 6} d u_{1} + \int 3 e^{- 4 x} d x + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int e^{u_{1}} (- \frac{1}{6}) d u_{1} + \int 3 e^{- 4 x} d x + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Этап 4.2

Объединим $e^{u_{1}}$ и $\frac{1}{6}$ .

$\int - \frac{e^{u_{1}}}{6} d u_{1} + \int 3 e^{- 4 x} d x + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{e^{u_{1}}}{6} d u_{1} + \int 3 e^{- 4 x} d x + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{6} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 3 e^{- 4 x} d x + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Этап 7

Интеграл $e^{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $e^{u_{1}}$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + \int 3 e^{- 4 x} d x + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Этап 8

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + 3 \int e^{- 4 x} d x + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Этап 9

Пусть $u_{2} = - 4 x$ . Тогда $d u_{2} = - 4 d x$ , следовательно $- \frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Пусть $u_{2} = - 4 x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Дифференцируем $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 9.1.2

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 9.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Этап 9.1.4

Умножим $- 4$ на $1$ .

$- 4$

Этап 9.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + 3 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 4} d u_{2} + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + 3 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{4}) d u_{2} + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Этап 10.2

Объединим $e^{u_{2}}$ и $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + 3 \int - \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2} + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Этап 11

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + 3 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}) + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Этап 12

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - 3 \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2} + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Этап 13

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - 3 (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}) + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $- 3$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + \frac{- 3}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Этап 14.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Этап 15

Интеграл $e^{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Этап 16

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) + 3 \int e^{- 2 x} d x + \int d x$

Этап 17

Пусть $u_{3} = - 2 x$ . Тогда $d u_{3} = - 2 d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u_{3} = d x$ . Перепишем, используя $u_{3}$ и $d$ $u_{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Пусть $u_{3} = - 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Дифференцируем $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 17.1.2

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 17.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Этап 17.1.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2$

Этап 17.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{3}$ и $d u_{3}$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) + 3 \int e^{u_{3}} \frac{1}{- 2} d u_{3} + \int d x$

Этап 18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) + 3 \int e^{u_{3}} (- \frac{1}{2}) d u_{3} + \int d x$

Этап 18.2

Объединим $e^{u_{3}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) + 3 \int - \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3} + \int d x$

Этап 19

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{3}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) + 3 (- \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}) + \int d x$

Этап 20

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) - 3 \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3} + \int d x$

Этап 21

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{3}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) - 3 (\frac{1}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3}) + \int d x$

Этап 22

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 3$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) + \frac{- 3}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3} + \int d x$

Этап 22.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) - \frac{3}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3} + \int d x$

Этап 23

Интеграл $e^{u_{3}}$ по $u_{3}$ имеет вид $e^{u_{3}}$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) - \frac{3}{2} (e^{u_{3}} + C) + \int d x$

Этап 24

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) - \frac{3}{2} (e^{u_{3}} + C) + x + C$

Этап 25

Упростим.

$- \frac{1}{6} e^{u_{1}} - \frac{3}{4} e^{u_{2}} - \frac{3}{2} e^{u_{3}} + x + C$

Этап 26

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- 6 x$ .

$- \frac{1}{6} e^{- 6 x} - \frac{3}{4} e^{u_{2}} - \frac{3}{2} e^{u_{3}} + x + C$

Этап 26.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- 4 x$ .

$- \frac{1}{6} e^{- 6 x} - \frac{3}{4} e^{- 4 x} - \frac{3}{2} e^{u_{3}} + x + C$

Этап 26.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $- 2 x$ .

$- \frac{1}{6} e^{- 6 x} - \frac{3}{4} e^{- 4 x} - \frac{3}{2} e^{- 2 x} + x + C$