Математический анализ Примеры

$(3 x^{2} + 1) {(x^{3} + x)}^{2}$

Этап 1

Пусть $u = x^{3} + x$ . Тогда $d u = (3 x^{2} + 1) d x$ , следовательно $\frac{1}{3 x^{2} + 1} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x^{3} + x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x^{3} + x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + x]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x^{3} + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} + 1$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int u^{2} d u$

Этап 2

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C$

Этап 3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3} + x$ .

$\frac{1}{3} {(x^{3} + x)}^{3} + C$