Математический анализ Примеры

$(x^{2} - 1) d x - (y^{2} + x) d y$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int (x^{2} - 1) d x d x + \int - (y^{2} + x) d y d x$

Этап 2

Поскольку $d$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $d$ из-под знака интеграла.

$d \int (x^{2} - 1) x d x + \int - (y^{2} + x) d y d x$

Этап 3

Умножим $(x^{2} - 1) x$ .

$d \int x^{2} x - 1 x d x + \int - (y^{2} + x) d y d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$d \int x^{2} x^{1} - 1 x d x + \int - (y^{2} + x) d y d x$

Этап 4.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$d \int x^{2 + 1} - 1 x d x + \int - (y^{2} + x) d y d x$

Этап 4.1.2

Добавим $2$ и $1$ .

$d \int x^{3} - 1 x d x + \int - (y^{2} + x) d y d x$

Этап 4.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$d \int x^{3} - x d x + \int - (y^{2} + x) d y d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$d (\int x^{3} d x + \int - x d x) + \int - (y^{2} + x) d y d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$d (\frac{1}{4} x^{4} + C + \int - x d x) + \int - (y^{2} + x) d y d x$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$d (\frac{1}{4} x^{4} + C - \int x d x) + \int - (y^{2} + x) d y d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$d (\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C)) + \int - (y^{2} + x) d y d x$

Этап 9

Поскольку $- d y$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- d y$ из-под знака интеграла.

$d (\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C)) - d y \int y^{2} + x d x$

Этап 10

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$d (\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C)) - d y (\int y^{2} d x + \int x d x)$

Этап 11

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$d (\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C)) - d y (y^{2} x + C + \int x d x)$

Этап 12

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$d (\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C)) - d y (y^{2} x + C + \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$d (\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{x^{2}}{2} + C)) - d y (y^{2} x + C + \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 13.1.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$d (\frac{x^{4}}{4} + C - (\frac{x^{2}}{2} + C)) - d y (y^{2} x + C + \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 13.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$d (\frac{x^{4}}{4} + C - (\frac{x^{2}}{2} + C)) - d y (y^{2} x + C + \frac{x^{2}}{2} + C)$

Этап 13.2

Упростим.

$\frac{d x^{4}}{4} - d \frac{x^{2}}{2} - d y (y^{2} x + \frac{x^{2}}{2}) + C$

Этап 13.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Объединим $\frac{x^{2}}{2}$ и $d$ .

$\frac{d x^{4}}{4} - \frac{x^{2} d}{2} - d y (y^{2} x + \frac{x^{2}}{2}) + C$

Этап 13.3.2

Чтобы записать $- d y (y^{2} x + \frac{x^{2}}{2})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{x^{2} d}{2} + \frac{d x^{4}}{4} - d y (y^{2} x + \frac{x^{2}}{2}) \cdot \frac{4}{4} + C$

Этап 13.3.3

Объединим $- d y (y^{2} x + \frac{x^{2}}{2})$ и $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{x^{2} d}{2} + \frac{d x^{4}}{4} + \frac{- d y (y^{2} x + \frac{x^{2}}{2}) \cdot 4}{4} + C$

Этап 13.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{x^{2} d}{2} + \frac{d x^{4} - d y (y^{2} x + \frac{x^{2}}{2}) \cdot 4}{4} + C$

Этап 13.3.5

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- \frac{x^{2} d}{2} + \frac{d x^{4} - 4 d y (y^{2} x + \frac{x^{2}}{2})}{4} + C$

Этап 14

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{2} x^{2} d + \frac{1}{4} (d x^{4} - 4 d y (y^{2} x + \frac{1}{2} x^{2})) + C$