Математический анализ Примеры

$\sin (2 x) \geq \sin (x)$

Этап 1

Вычтем $\sin (x)$ из обеих частей неравенства.

$\sin (2 x) - \sin (x) \geq 0$

Этап 2

Применим формулу двойного угла для синуса.

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) \geq 0$

Этап 3

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x) = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Этап 3.3

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ .

$\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (x) = 0$

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Этап 5

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 5.2

Решим $\sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 5.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 5.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 5.2.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.2.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Приравняем $2 \cos (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $2 \cos (x) - 1$ к $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Этап 6.2

Решим $2 \cos (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 \cos (x) = 1$

Этап 6.2.2

Разделим каждый член $2 \cos (x) = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Разделим каждый член $2 \cos (x) = 1$ на $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 6.2.2.2.1.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Этап 6.2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Этап 6.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Точное значение $\arccos (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Этап 6.2.5

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Этап 6.2.6

Упростим $2 π - \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 6.2.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 6.2.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 6.2.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Этап 6.2.6.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Этап 6.2.7

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6.2.8

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$ верно.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Объединим $2 π n$ и $π + 2 π n$ в $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$0 < x < \frac{π}{3}$

$\frac{π}{3} < x < π$

$π < x < \frac{5 π}{3}$

$\frac{5 π}{3} < x < 2 π$

$2 π < x < \frac{7 π}{3}$

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $0 < x < \frac{π}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $0 < x < \frac{π}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 10.1.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$\sin (2 (1)) \geq \sin (1)$

Этап 10.1.3

Левая часть $0.90929742$ больше правой части $0.84147098$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $\frac{π}{3} < x < π$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{π}{3} < x < π$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 10.2.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\sin (2 (2)) \geq \sin (2)$

Этап 10.2.3

Левая часть $- 0.75680249$ меньше правой части $0.90929742$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $π < x < \frac{5 π}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $π < x < \frac{5 π}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 10.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\sin (2 (4)) \geq \sin (4)$

Этап 10.3.3

Левая часть $0.98935824$ больше правой части $- 0.75680249$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 10.4

Проверим значение на интервале $\frac{5 π}{3} < x < 2 π$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Выберем значение на интервале $\frac{5 π}{3} < x < 2 π$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 10.4.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\sin (2 (6)) \geq \sin (6)$

Этап 10.4.3

Левая часть $- 0.53657291$ меньше правой части $- 0.27941549$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 10.5

Проверим значение на интервале $2 π < x < \frac{7 π}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Выберем значение на интервале $2 π < x < \frac{7 π}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 7$

Этап 10.5.2

Заменим $x$ на $7$ в исходном неравенстве.

$\sin (2 (7)) \geq \sin (7)$

Этап 10.5.3

Левая часть $0.99060735$ больше правой части $0.65698659$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 10.6

Проверим значение на интервале $\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1

Выберем значение на интервале $\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 9$

Этап 10.6.2

Заменим $x$ на $9$ в исходном неравенстве.

$\sin (2 (9)) \geq \sin (9)$

Этап 10.6.3

Левая часть $- 0.75098724$ меньше правой части $0.41211848$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 10.7

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$0 < x < \frac{π}{3}$ Истина

$\frac{π}{3} < x < π$ Ложь

$π < x < \frac{5 π}{3}$ Истина

$\frac{5 π}{3} < x < 2 π$ Ложь

$2 π < x < \frac{7 π}{3}$ Истина

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ Ложь

$0 < x < \frac{π}{3}$ Истина

$\frac{π}{3} < x < π$ Ложь

$π < x < \frac{5 π}{3}$ Истина

$\frac{5 π}{3} < x < 2 π$ Ложь

$2 π < x < \frac{7 π}{3}$ Истина

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ Ложь

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 + 2 π n \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 π n$ or $π + 2 π n \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 π n$ or $2 π + 2 π n \leq x \leq \frac{7 π}{3} + 2 π n$ , for any integer $n$

Этап 12

Объединим интервалы.

$π + 2 π n \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 π n or 2 π n \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 π n or 2 π + 2 π n \leq x \leq \frac{7 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 13

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$[2 π + 2 π n, \frac{7 π}{3} + 2 π n] \cup [π + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n] \cup [2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n]$

Этап 14