Математический анализ Примеры

$| x - 4 | < 2$

Этап 1

Запишем $| x - 4 | < 2$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x - 4 \geq 0$

Этап 1.2

Добавим $4$ к обеим частям неравенства.

$x \geq 4$

Этап 1.3

В части, где $x - 4$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x - 4 < 2$

Этап 1.4

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x - 4 < 0$

Этап 1.5

Добавим $4$ к обеим частям неравенства.

$x < 4$

Этап 1.6

В части, где $x - 4$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- (x - 4) < 2$

Этап 1.7

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x - 4 < 2 & x \geq 4 \\ - (x - 4) < 2 & x < 4 \end{cases}$

Этап 1.8

Упростим $- (x - 4) < 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

${\begin{cases} x - 4 < 2 & x \geq 4 \\ - x - - 4 < 2 & x < 4 \end{cases}$

Этап 1.8.2

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

${\begin{cases} x - 4 < 2 & x \geq 4 \\ - x + 4 < 2 & x < 4 \end{cases}$

Этап 2

Решим $x - 4 < 2$ , когда $x \geq 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Добавим $4$ к обеим частям неравенства.

$x < 2 + 4$

Этап 2.1.2

Добавим $2$ и $4$ .

$x < 6$

Этап 2.2

Найдем пересечение $x < 6$ и $x \geq 4$ .

$4 \leq x < 6$

Этап 3

Решим $- x + 4 < 2$ , когда $x < 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим $- x + 4 < 2$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Вычтем $4$ из обеих частей неравенства.

$- x < 2 - 4$

Этап 3.1.1.2

Вычтем $4$ из $2$ .

$- x < - 2$

Этап 3.1.2

Разделим каждый член $- x < - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разделим каждый член $- x < - 2$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{- 2}{- 1}$

Этап 3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} > \frac{- 2}{- 1}$

Этап 3.1.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x > \frac{- 2}{- 1}$

Этап 3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x > 2$

Этап 3.2

Найдем пересечение $x > 2$ и $x < 4$ .

$2 < x < 4$

Этап 4

Найдем объединение решений.

$2 < x < 6$

Этап 5

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(2, 6)$

Этап 6