Математический анализ Примеры

Преобразовать к интервальному виду |3-1/x|<1/2
Этап 1
Запишем в виде кусочной функции.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.
Этап 1.2
Решим неравенство.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.1
Вычтем из обеих частей неравенства.
Этап 1.2.2
Умножим обе части на .
Этап 1.2.3
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.3.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.3.1.1
Перенесем стоящий впереди знак минуса в в числитель.
Этап 1.2.3.1.2
Сократим общий множитель.
Этап 1.2.3.1.3
Перепишем это выражение.
Этап 1.2.4
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.4.1
Перепишем уравнение в виде .
Этап 1.2.4.2
Разделим каждый член на и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.4.2.1
Разделим каждый член на .
Этап 1.2.4.2.2
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.4.2.2.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.4.2.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 1.2.4.2.2.1.2
Разделим на .
Этап 1.2.4.2.3
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.4.2.3.1
Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.
Этап 1.2.5
Найдем область определения .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.5.1
Зададим знаменатель в равным , чтобы узнать, где данное выражение не определено.
Этап 1.2.5.2
Область определения ― это все значения , при которых выражение определено.
Этап 1.2.6
Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.
Этап 1.2.7
Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.7.1
Проверим значение на интервале и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.7.1.1
Выберем значение на интервале и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.
Этап 1.2.7.1.2
Заменим на в исходном неравенстве.
Этап 1.2.7.1.3
Левая часть больше правой части , значит, данное утверждение всегда истинно.
True
True
Этап 1.2.7.2
Проверим значение на интервале и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.7.2.1
Выберем значение на интервале и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.
Этап 1.2.7.2.2
Заменим на в исходном неравенстве.
Этап 1.2.7.2.3
Левая часть меньше правой части , значит, данное утверждение ложно.
False
False
Этап 1.2.7.3
Проверим значение на интервале и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.7.3.1
Выберем значение на интервале и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.
Этап 1.2.7.3.2
Заменим на в исходном неравенстве.
Этап 1.2.7.3.3
Левая часть больше правой части , значит, данное утверждение всегда истинно.
True
True
Этап 1.2.7.4
Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.
Истина
Ложь
Истина
Истина
Ложь
Истина
Этап 1.2.8
Решение состоит из всех истинных интервалов.
или
или
Этап 1.3
В части, где принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.
Этап 1.4
Найдем область определения и пересечение с .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.1
Найдем область определения .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.1.1
Зададим знаменатель в равным , чтобы узнать, где данное выражение не определено.
Этап 1.4.1.2
Область определения ― это все значения , при которых выражение определено.
Этап 1.4.2
Найдем пересечение и .
Этап 1.5
Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.
Этап 1.6
Решим неравенство.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.6.1
Вычтем из обеих частей неравенства.
Этап 1.6.2
Умножим обе части на .
Этап 1.6.3
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.6.3.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.6.3.1.1
Перенесем стоящий впереди знак минуса в в числитель.
Этап 1.6.3.1.2
Сократим общий множитель.
Этап 1.6.3.1.3
Перепишем это выражение.
Этап 1.6.4
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.6.4.1
Перепишем уравнение в виде .
Этап 1.6.4.2
Разделим каждый член на и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.6.4.2.1
Разделим каждый член на .
Этап 1.6.4.2.2
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.6.4.2.2.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.6.4.2.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 1.6.4.2.2.1.2
Разделим на .
Этап 1.6.4.2.3
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.6.4.2.3.1
Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.
Этап 1.6.5
Найдем область определения .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.6.5.1
Зададим знаменатель в равным , чтобы узнать, где данное выражение не определено.
Этап 1.6.5.2
Область определения ― это все значения , при которых выражение определено.
Этап 1.6.6
Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.
Этап 1.6.7
Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.6.7.1
Проверим значение на интервале и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.6.7.1.1
Выберем значение на интервале и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.
Этап 1.6.7.1.2
Заменим на в исходном неравенстве.
Этап 1.6.7.1.3
Левая часть не меньше правой части , значит, данное утверждение ложно.
False
False
Этап 1.6.7.2
Проверим значение на интервале и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.6.7.2.1
Выберем значение на интервале и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.
Этап 1.6.7.2.2
Заменим на в исходном неравенстве.
Этап 1.6.7.2.3
Левая часть меньше правой части , значит, данное утверждение всегда истинно.
True
True
Этап 1.6.7.3
Проверим значение на интервале и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.6.7.3.1
Выберем значение на интервале и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.
Этап 1.6.7.3.2
Заменим на в исходном неравенстве.
Этап 1.6.7.3.3
Левая часть не меньше правой части , значит, данное утверждение ложно.
False
False
Этап 1.6.7.4
Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.
Ложь
Истина
Ложь
Ложь
Истина
Ложь
Этап 1.6.8
Решение состоит из всех истинных интервалов.
Этап 1.7
В части, где принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на .
Этап 1.8
Найдем область определения и пересечение с .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.8.1
Найдем область определения .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.8.1.1
Зададим знаменатель в равным , чтобы узнать, где данное выражение не определено.
Этап 1.8.1.2
Область определения ― это все значения , при которых выражение определено.
Этап 1.8.2
Найдем пересечение и .
Этап 1.9
Запишем в виде кусочной функции.
Этап 1.10
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.10.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.10.2
Умножим на .
Этап 1.10.3
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.10.3.1
Умножим на .
Этап 1.10.3.2
Умножим на .
Этап 2
Решим , когда .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.1
Перенесем все члены без в правую часть неравенства.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.1.1
Вычтем из обеих частей неравенства.
Этап 2.1.1.2
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 2.1.1.3
Объединим и .
Этап 2.1.1.4
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 2.1.1.5
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.1.5.1
Умножим на .
Этап 2.1.1.5.2
Вычтем из .
Этап 2.1.1.6
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 2.1.2
Умножим обе части на .
Этап 2.1.3
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.3.1
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.3.1.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.3.1.1.1
Перенесем стоящий впереди знак минуса в в числитель.
Этап 2.1.3.1.1.2
Сократим общий множитель.
Этап 2.1.3.1.1.3
Перепишем это выражение.
Этап 2.1.3.2
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.3.2.1
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.3.2.1.1
Объединим и .
Этап 2.1.3.2.1.2
Перенесем влево от .
Этап 2.1.4
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.4.1
Перепишем уравнение в виде .
Этап 2.1.4.2
Умножим обе части уравнения на .
Этап 2.1.4.3
Упростим обе части уравнения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.4.3.1
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.4.3.1.1
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.4.3.1.1.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.4.3.1.1.1.1
Перенесем стоящий впереди знак минуса в в числитель.
Этап 2.1.4.3.1.1.1.2
Перенесем стоящий впереди знак минуса в в числитель.
Этап 2.1.4.3.1.1.1.3
Вынесем множитель из .
Этап 2.1.4.3.1.1.1.4
Сократим общий множитель.
Этап 2.1.4.3.1.1.1.5
Перепишем это выражение.
Этап 2.1.4.3.1.1.2
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.4.3.1.1.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.1.4.3.1.1.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 2.1.4.3.1.1.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 2.1.4.3.1.1.3
Умножим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.4.3.1.1.3.1
Умножим на .
Этап 2.1.4.3.1.1.3.2
Умножим на .
Этап 2.1.4.3.2
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.4.3.2.1
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.4.3.2.1.1
Умножим на .
Этап 2.1.4.3.2.1.2
Умножим на .
Этап 2.1.5
Найдем область определения .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.5.1
Зададим знаменатель в равным , чтобы узнать, где данное выражение не определено.
Этап 2.1.5.2
Область определения ― это все значения , при которых выражение определено.
Этап 2.1.6
Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.
Этап 2.1.7
Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.7.1
Проверим значение на интервале и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.7.1.1
Выберем значение на интервале и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.
Этап 2.1.7.1.2
Заменим на в исходном неравенстве.
Этап 2.1.7.1.3
Левая часть не меньше правой части , значит, данное утверждение ложно.
False
False
Этап 2.1.7.2
Проверим значение на интервале и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.7.2.1
Выберем значение на интервале и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.
Этап 2.1.7.2.2
Заменим на в исходном неравенстве.
Этап 2.1.7.2.3
Левая часть меньше правой части , значит, данное утверждение всегда истинно.
True
True
Этап 2.1.7.3
Проверим значение на интервале и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.7.3.1
Выберем значение на интервале и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.
Этап 2.1.7.3.2
Заменим на в исходном неравенстве.
Этап 2.1.7.3.3
Левая часть не меньше правой части , значит, данное утверждение ложно.
False
False
Этап 2.1.7.4
Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.
Ложь
Истина
Ложь
Ложь
Истина
Ложь
Этап 2.1.8
Решение состоит из всех истинных интервалов.
Этап 2.2
Найдем пересечение и .
Этап 3
Решим , когда .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.1
Перенесем все члены без в правую часть неравенства.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.1.1
Добавим к обеим частям неравенства.
Этап 3.1.1.2
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 3.1.1.3
Объединим и .
Этап 3.1.1.4
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 3.1.1.5
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.1.5.1
Умножим на .
Этап 3.1.1.5.2
Добавим и .
Этап 3.1.2
Умножим обе части на .
Этап 3.1.3
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.3.1
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.3.1.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.3.1.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 3.1.3.1.1.2
Перепишем это выражение.
Этап 3.1.3.2
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.3.2.1
Объединим и .
Этап 3.1.4
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.4.1
Перепишем уравнение в виде .
Этап 3.1.4.2
Умножим обе части уравнения на .
Этап 3.1.4.3
Упростим обе части уравнения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.4.3.1
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.4.3.1.1
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.4.3.1.1.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.4.3.1.1.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 3.1.4.3.1.1.1.2
Перепишем это выражение.
Этап 3.1.4.3.1.1.2
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.4.3.1.1.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.1.4.3.1.1.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 3.1.4.3.1.1.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 3.1.4.3.2
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.4.3.2.1
Умножим на .
Этап 3.1.5
Найдем область определения .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.5.1
Зададим знаменатель в равным , чтобы узнать, где данное выражение не определено.
Этап 3.1.5.2
Область определения ― это все значения , при которых выражение определено.
Этап 3.1.6
Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.
Этап 3.1.7
Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.7.1
Проверим значение на интервале и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.7.1.1
Выберем значение на интервале и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.
Этап 3.1.7.1.2
Заменим на в исходном неравенстве.
Этап 3.1.7.1.3
Левая часть меньше правой части , значит, данное утверждение всегда истинно.
True
True
Этап 3.1.7.2
Проверим значение на интервале и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.7.2.1
Выберем значение на интервале и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.
Этап 3.1.7.2.2
Заменим на в исходном неравенстве.
Этап 3.1.7.2.3
Левая часть не меньше правой части , значит, данное утверждение ложно.
False
False
Этап 3.1.7.3
Проверим значение на интервале и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.7.3.1
Выберем значение на интервале и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.
Этап 3.1.7.3.2
Заменим на в исходном неравенстве.
Этап 3.1.7.3.3
Левая часть меньше правой части , значит, данное утверждение всегда истинно.
True
True
Этап 3.1.7.4
Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.
Истина
Ложь
Истина
Истина
Ложь
Истина
Этап 3.1.8
Решение состоит из всех истинных интервалов.
или
или
Этап 3.2
Найдем пересечение и .
Этап 4
Найдем объединение решений.
Этап 5
Преобразуем неравенство в интервальное представление.
Этап 6