Математический анализ Примеры

$| 3 - \frac{1}{x} | < \frac{1}{2}$

Этап 1

Запишем $| 3 - \frac{1}{x} | < \frac{1}{2}$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$3 - \frac{1}{x} \geq 0$

Этап 1.2

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей неравенства.

$- \frac{1}{x} \geq - 3$

Этап 1.2.2

Умножим обе части на $x$ .

$- \frac{1}{x} x = - 3 x$

Этап 1.2.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x}$ в числитель.

$\frac{- 1}{x} x = - 3 x$

Этап 1.2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{x} x = - 3 x$

Этап 1.2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = - 3 x$

Этап 1.2.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Перепишем уравнение в виде $- 3 x = - 1$ .

$- 3 x = - 1$

Этап 1.2.4.2

Разделим каждый член $- 3 x = - 1$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Разделим каждый член $- 3 x = - 1$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Этап 1.2.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Этап 1.2.4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 3}$

Этап 1.2.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{1}{3}$

Этап 1.2.5

Найдем область определения $\frac{2 | 3 - \frac{1}{x} | - 1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 1.2.5.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 1.2.6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{3}$

$x > \frac{1}{3}$

Этап 1.2.7

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 1.2.7.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$3 - \frac{1}{- 2} \geq 0$

Этап 1.2.7.1.3

Левая часть $3.5$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 1.2.7.2

Проверим значение на интервале $0 < x < \frac{1}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < \frac{1}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.17$

Этап 1.2.7.2.2

Заменим $x$ на $0.17$ в исходном неравенстве.

$3 - \frac{1}{0.17} \geq 0$

Этап 1.2.7.2.3

Левая часть $- 2.88235294$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 1.2.7.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{1}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{1}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 1.2.7.3.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$3 - \frac{1}{3} \geq 0$

Этап 1.2.7.3.3

Левая часть $2.\overline{6}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 1.2.7.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Истина

$0 < x < \frac{1}{3}$ Ложь

$x > \frac{1}{3}$ Истина

$x < 0$ Истина

$0 < x < \frac{1}{3}$ Ложь

$x > \frac{1}{3}$ Истина

Этап 1.2.8

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < 0$ или $x \geq \frac{1}{3}$

Этап 1.3

В части, где $3 - \frac{1}{x}$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$3 - \frac{1}{x} < \frac{1}{2}$

Этап 1.4

Найдем область определения $3 - \frac{1}{x} < \frac{1}{2}$ и пересечение с $x < 0 or x \geq \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем область определения $3 - \frac{1}{x} < \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 1.4.1.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 1.4.2

Найдем пересечение $x < 0 or x \geq \frac{1}{3}$ и $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$x < 0 or x \geq \frac{1}{3}$

Этап 1.5

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$3 - \frac{1}{x} < 0$

Этап 1.6

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Вычтем $3$ из обеих частей неравенства.

$- \frac{1}{x} < - 3$

Этап 1.6.2

Умножим обе части на $x$ .

$- \frac{1}{x} x = - 3 x$

Этап 1.6.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x}$ в числитель.

$\frac{- 1}{x} x = - 3 x$

Этап 1.6.3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{x} x = - 3 x$

Этап 1.6.3.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = - 3 x$

Этап 1.6.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1

Перепишем уравнение в виде $- 3 x = - 1$ .

$- 3 x = - 1$

Этап 1.6.4.2

Разделим каждый член $- 3 x = - 1$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.2.1

Разделим каждый член $- 3 x = - 1$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Этап 1.6.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.2.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Этап 1.6.4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 3}$

Этап 1.6.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{1}{3}$

Этап 1.6.5

Найдем область определения $\frac{2 | 3 - \frac{1}{x} | - 1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.5.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 1.6.5.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 1.6.6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{3}$

$x > \frac{1}{3}$

Этап 1.6.7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.7.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.7.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 1.6.7.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$3 - \frac{1}{- 2} < 0$

Этап 1.6.7.1.3

Левая часть $3.5$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 1.6.7.2

Проверим значение на интервале $0 < x < \frac{1}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.7.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < \frac{1}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.17$

Этап 1.6.7.2.2

Заменим $x$ на $0.17$ в исходном неравенстве.

$3 - \frac{1}{0.17} < 0$

Этап 1.6.7.2.3

Левая часть $- 2.88235294$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 1.6.7.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{1}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.7.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{1}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 1.6.7.3.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$3 - \frac{1}{3} < 0$

Этап 1.6.7.3.3

Левая часть $2.\overline{6}$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 1.6.7.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$0 < x < \frac{1}{3}$ Истина

$x > \frac{1}{3}$ Ложь

$x < 0$ Ложь

$0 < x < \frac{1}{3}$ Истина

$x > \frac{1}{3}$ Ложь

Этап 1.6.8

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 < x < \frac{1}{3}$

Этап 1.7

В части, где $3 - \frac{1}{x}$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- (3 - \frac{1}{x}) < \frac{1}{2}$

Этап 1.8

Найдем область определения $- (3 - \frac{1}{x}) < \frac{1}{2}$ и пересечение с $0 < x < \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Найдем область определения $- (3 - \frac{1}{x}) < \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 1.8.1.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 1.8.2

Найдем пересечение $0 < x < \frac{1}{3}$ и $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$0 < x < \frac{1}{3}$

Этап 1.9

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} 3 - \frac{1}{x} < \frac{1}{2} & x < 0 or x \geq \frac{1}{3} \\ - (3 - \frac{1}{x}) < \frac{1}{2} & 0 < x < \frac{1}{3} \end{cases}$

Этап 1.10

Упростим $- (3 - \frac{1}{x}) < \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

${\begin{cases} 3 - \frac{1}{x} < \frac{1}{2} & x < 0 or x \geq \frac{1}{3} \\ - 1 \cdot 3 - - \frac{1}{x} < \frac{1}{2} & 0 < x < \frac{1}{3} \end{cases}$

Этап 1.10.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

${\begin{cases} 3 - \frac{1}{x} < \frac{1}{2} & x < 0 or x \geq \frac{1}{3} \\ - 3 - - \frac{1}{x} < \frac{1}{2} & 0 < x < \frac{1}{3} \end{cases}$

Этап 1.10.3

Умножим $- - \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

${\begin{cases} 3 - \frac{1}{x} < \frac{1}{2} & x < 0 or x \geq \frac{1}{3} \\ - 3 + 1 \frac{1}{x} < \frac{1}{2} & 0 < x < \frac{1}{3} \end{cases}$

Этап 1.10.3.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $1$ .

${\begin{cases} 3 - \frac{1}{x} < \frac{1}{2} & x < 0 or x \geq \frac{1}{3} \\ - 3 + \frac{1}{x} < \frac{1}{2} & 0 < x < \frac{1}{3} \end{cases}$

Этап 2

Решим $3 - \frac{1}{x} < \frac{1}{2}$ , когда $x < 0 or x \geq \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Решим $3 - \frac{1}{x} < \frac{1}{2}$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вычтем $3$ из обеих частей неравенства.

$- \frac{1}{x} < \frac{1}{2} - 3$

Этап 2.1.1.2

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{x} < \frac{1}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 2.1.1.3

Объединим $- 3$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{x} < \frac{1}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Этап 2.1.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{x} < \frac{1 - 3 \cdot 2}{2}$

Этап 2.1.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.5.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$- \frac{1}{x} < \frac{1 - 6}{2}$

Этап 2.1.1.5.2

Вычтем $6$ из $1$ .

$- \frac{1}{x} < \frac{- 5}{2}$

Этап 2.1.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{x} < - \frac{5}{2}$

Этап 2.1.2

Умножим обе части на $x$ .

$- \frac{1}{x} x = - \frac{5}{2} x$

Этап 2.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x}$ в числитель.

$\frac{- 1}{x} x = - \frac{5}{2} x$

Этап 2.1.3.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{x} x = - \frac{5}{2} x$

Этап 2.1.3.1.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = - \frac{5}{2} x$

Этап 2.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1

Упростим $- \frac{5}{2} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1.1

Объединим $x$ и $\frac{5}{2}$ .

$- 1 = - \frac{x \cdot 5}{2}$

Этап 2.1.3.2.1.2

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$- 1 = - \frac{5 x}{2}$

Этап 2.1.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{5 x}{2} = - 1$ .

$- \frac{5 x}{2} = - 1$

Этап 2.1.4.2

Умножим обе части уравнения на $- \frac{2}{5}$ .

$- \frac{2}{5} (- \frac{5 x}{2}) = - \frac{2}{5} \cdot - 1$

Этап 2.1.4.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.3.1.1

Упростим $- \frac{2}{5} (- \frac{5 x}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.3.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.3.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{5}$ в числитель.

$\frac{- 2}{5} (- \frac{5 x}{2}) = - \frac{2}{5} \cdot - 1$

Этап 2.1.4.3.1.1.1.2

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5 x}{2}$ в числитель.

$\frac{- 2}{5} \cdot \frac{- 5 x}{2} = - \frac{2}{5} \cdot - 1$

Этап 2.1.4.3.1.1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{5} \cdot \frac{- 5 x}{2} = - \frac{2}{5} \cdot - 1$

Этап 2.1.4.3.1.1.1.4

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{- 5 x}{2} = - \frac{2}{5} \cdot - 1$

Этап 2.1.4.3.1.1.1.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{5} (- 5 x) = - \frac{2}{5} \cdot - 1$

Этап 2.1.4.3.1.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5 x$ .

$\frac{- 1}{5} (5 (- x)) = - \frac{2}{5} \cdot - 1$

Этап 2.1.4.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{5} (5 (- x)) = - \frac{2}{5} \cdot - 1$

Этап 2.1.4.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- - x = - \frac{2}{5} \cdot - 1$

Этап 2.1.4.3.1.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.3.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 x = - \frac{2}{5} \cdot - 1$

Этап 2.1.4.3.1.1.3.2

Умножим $x$ на $1$ .

$x = - \frac{2}{5} \cdot - 1$

Этап 2.1.4.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.3.2.1

Умножим $- \frac{2}{5} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.3.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1 (\frac{2}{5})$

Этап 2.1.4.3.2.1.2

Умножим $\frac{2}{5}$ на $1$ .

$x = \frac{2}{5}$

Этап 2.1.5

Найдем область определения $- \frac{1}{x} + \frac{5}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 2.1.5.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 2.1.6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < \frac{2}{5}$

$x > \frac{2}{5}$

Этап 2.1.7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 2.1.7.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$3 - \frac{1}{- 2} < \frac{1}{2}$

Этап 2.1.7.1.3

Левая часть $3.5$ не меньше правой части $0.5$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 2.1.7.2

Проверим значение на интервале $0 < x < \frac{2}{5}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < \frac{2}{5}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.2$

Этап 2.1.7.2.2

Заменим $x$ на $0.2$ в исходном неравенстве.

$3 - \frac{1}{0.2} < \frac{1}{2}$

Этап 2.1.7.2.3

Левая часть $- 2$ меньше правой части $0.5$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 2.1.7.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{2}{5}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{2}{5}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 2.1.7.3.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$3 - \frac{1}{3} < \frac{1}{2}$

Этап 2.1.7.3.3

Левая часть $2.\overline{6}$ не меньше правой части $0.5$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 2.1.7.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$0 < x < \frac{2}{5}$ Истина

$x > \frac{2}{5}$ Ложь

$x < 0$ Ложь

$0 < x < \frac{2}{5}$ Истина

$x > \frac{2}{5}$ Ложь

Этап 2.1.8

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 < x < \frac{2}{5}$

Этап 2.2

Найдем пересечение $0 < x < \frac{2}{5}$ и $x < 0 or x \geq \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} \leq x < \frac{2}{5}$

Этап 3

Решим $- 3 + \frac{1}{x} < \frac{1}{2}$ , когда $0 < x < \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим $- 3 + \frac{1}{x} < \frac{1}{2}$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Добавим $3$ к обеим частям неравенства.

$\frac{1}{x} < \frac{1}{2} + 3$

Этап 3.1.1.2

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x} < \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.1.1.3

Объединим $3$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x} < \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Этап 3.1.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{x} < \frac{1 + 3 \cdot 2}{2}$

Этап 3.1.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.5.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{1}{x} < \frac{1 + 6}{2}$

Этап 3.1.1.5.2

Добавим $1$ и $6$ .

$\frac{1}{x} < \frac{7}{2}$

Этап 3.1.2

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{1}{x} x = \frac{7}{2} x$

Этап 3.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x} x = \frac{7}{2} x$

Этап 3.1.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{7}{2} x$

Этап 3.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.2.1

Объединим $\frac{7}{2}$ и $x$ .

$1 = \frac{7 x}{2}$

Этап 3.1.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{7 x}{2} = 1$ .

$\frac{7 x}{2} = 1$

Этап 3.1.4.2

Умножим обе части уравнения на $\frac{2}{7}$ .

$\frac{2}{7} \cdot \frac{7 x}{2} = \frac{2}{7} \cdot 1$

Этап 3.1.4.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.3.1.1

Упростим $\frac{2}{7} \cdot \frac{7 x}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.3.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.3.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{7} \cdot \frac{7 x}{2} = \frac{2}{7} \cdot 1$

Этап 3.1.4.3.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{7} (7 x) = \frac{2}{7} \cdot 1$

Этап 3.1.4.3.1.1.2

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $7$ из $7 x$ .

$\frac{1}{7} (7 (x)) = \frac{2}{7} \cdot 1$

Этап 3.1.4.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{7} (7 x) = \frac{2}{7} \cdot 1$

Этап 3.1.4.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{2}{7} \cdot 1$

Этап 3.1.4.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.3.2.1

Умножим $\frac{2}{7}$ на $1$ .

$x = \frac{2}{7}$

Этап 3.1.5

Найдем область определения $\frac{1}{x} - \frac{7}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 3.1.5.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 3.1.6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < \frac{2}{7}$

$x > \frac{2}{7}$

Этап 3.1.7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 3.1.7.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$- 3 + \frac{1}{- 2} < \frac{1}{2}$

Этап 3.1.7.1.3

Левая часть $- 3.5$ меньше правой части $0.5$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 3.1.7.2

Проверим значение на интервале $0 < x < \frac{2}{7}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < \frac{2}{7}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.14$

Этап 3.1.7.2.2

Заменим $x$ на $0.14$ в исходном неравенстве.

$- 3 + \frac{1}{0.14} < \frac{1}{2}$

Этап 3.1.7.2.3

Левая часть $4.\overline{142857}$ не меньше правой части $0.5$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 3.1.7.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{2}{7}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{2}{7}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 3.1.7.3.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$- 3 + \frac{1}{3} < \frac{1}{2}$

Этап 3.1.7.3.3

Левая часть $- 2.\overline{6}$ меньше правой части $0.5$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 3.1.7.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Истина

$0 < x < \frac{2}{7}$ Ложь

$x > \frac{2}{7}$ Истина

$x < 0$ Истина

$0 < x < \frac{2}{7}$ Ложь

$x > \frac{2}{7}$ Истина

Этап 3.1.8

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < 0$ или $x > \frac{2}{7}$

Этап 3.2

Найдем пересечение $x < 0 or x > \frac{2}{7}$ и $0 < x < \frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{7} < x < \frac{1}{3}$

Этап 4

Найдем объединение решений.

$\frac{2}{7} < x < \frac{2}{5}$

Этап 5

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(\frac{2}{7}, \frac{2}{5})$

Этап 6