Математический анализ Примеры

${(x - 2)}^{2} (24 - 4 x) > 0$

Этап 1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

$24 - 4 x = 0$

Этап 2

Приравняем ${(x - 2)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Приравняем ${(x - 2)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 2.2

Решим ${(x - 2)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 2.2.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 3

Приравняем $24 - 4 x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $24 - 4 x$ к $0$ .

$24 - 4 x = 0$

Этап 3.2

Решим $24 - 4 x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $24$ из обеих частей уравнения.

$- 4 x = - 24$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член $- 4 x = - 24$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член $- 4 x = - 24$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 24}{- 4}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 24}{- 4}$

Этап 3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 24}{- 4}$

Этап 3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.3.1

Разделим $- 24$ на $- 4$ .

$x = 6$

Этап 4

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(x - 2)}^{2} (24 - 4 x) > 0$ верно.

$x = 2, 6$

Этап 5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 2$

$2 < x < 6$

$x > 6$

Этап 6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Проверим значение на интервале $x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Выберем значение на интервале $x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 6.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

${((0) - 2)}^{2} (24 - 4 \cdot 0) > 0$

Этап 6.1.3

Левая часть $96$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 6.2

Проверим значение на интервале $2 < x < 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Выберем значение на интервале $2 < x < 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 6.2.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

${((4) - 2)}^{2} (24 - 4 \cdot 4) > 0$

Этап 6.2.3

Левая часть $32$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 6.3

Проверим значение на интервале $x > 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 6.3.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

${((8) - 2)}^{2} (24 - 4 \cdot 8) > 0$

Этап 6.3.3

Левая часть $- 288$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 2$ Истина

$2 < x < 6$ Истина

$x > 6$ Ложь

$x < 2$ Истина

$2 < x < 6$ Истина

$x > 6$ Ложь

Этап 7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < 2$ или $2 < x < 6$

Этап 8

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, 2) \cup (2, 6)$

Этап 9