Математический анализ Примеры

${(x - 1)}^{2} (8 - 2 x) > 0$

Этап 1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

$8 - 2 x = 0$

Этап 2

Приравняем ${(x - 1)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Приравняем ${(x - 1)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Этап 2.2

Решим ${(x - 1)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 3

Приравняем $8 - 2 x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $8 - 2 x$ к $0$ .

$8 - 2 x = 0$

Этап 3.2

Решим $8 - 2 x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x = - 8$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член $- 2 x = - 8$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член $- 2 x = - 8$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 8}{- 2}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 8}{- 2}$

Этап 3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 8}{- 2}$

Этап 3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.3.1

Разделим $- 8$ на $- 2$ .

$x = 4$

Этап 4

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(x - 1)}^{2} (8 - 2 x) > 0$ верно.

$x = 1, 4$

Этап 5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 1$

$1 < x < 4$

$x > 4$

Этап 6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Проверим значение на интервале $x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Выберем значение на интервале $x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 6.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

${((0) - 1)}^{2} (8 - 2 \cdot 0) > 0$

Этап 6.1.3

Левая часть $8$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 6.2

Проверим значение на интервале $1 < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Выберем значение на интервале $1 < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 6.2.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

${((2) - 1)}^{2} (8 - 2 \cdot 2) > 0$

Этап 6.2.3

Левая часть $4$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 6.3

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 6.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

${((6) - 1)}^{2} (8 - 2 \cdot 6) > 0$

Этап 6.3.3

Левая часть $- 100$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 1$ Истина

$1 < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

$x < 1$ Истина

$1 < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

Этап 7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < 1$ или $1 < x < 4$

Этап 8

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, 1) \cup (1, 4)$

Этап 9