Математический анализ Примеры

$\tan (x) \geq 1$

Этап 1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x \geq \arctan (1)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$x \geq \frac{π}{4}$

Этап 3

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{4}$

Этап 4

Упростим $π + \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 4.3.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 6

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Найдем область определения $\tan (x) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Зададим аргумент в $\tan (x)$ равным $\frac{π}{2} + π n$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 8.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , для любого целого числа $n$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{4}$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 10.1.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$\tan (1) \geq 1$

Этап 10.1.3

Левая часть $1.55740772$ больше правой части $1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{4}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{4}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 10.2.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$\tan (3) \geq 1$

Этап 10.2.3

Левая часть $- 0.14254654$ меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 10.3

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ Истина

$\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{4}$ Ложь

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ Истина

$\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{4}$ Ложь

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{π}{4} + π n \leq x < \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 12

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$[\frac{π}{4} + π n, \frac{π}{2} + π n)$

Этап 13