Математический анализ Примеры

$12 x^{2} - 7 x - 12 < 0$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$12 x^{2} - 7 x - 12 = 0$

Этап 2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 12 \cdot - 12 = - 144$ , а сумма — $b = - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $- 7$ из $- 7 x$ .

$12 x^{2} - 7 x - 12 = 0$

Этап 2.1.2

Запишем $- 7$ как $9$ плюс $- 16$

$12 x^{2} + (9 - 16) x - 12 = 0$

Этап 2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$12 x^{2} + 9 x - 16 x - 12 = 0$

Этап 2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(12 x^{2} + 9 x) - 16 x - 12 = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$3 x (4 x + 3) - 4 (4 x + 3) = 0$

Этап 2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 x + 3$ .

$(4 x + 3) (3 x - 4) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 x + 3 = 0$

$3 x - 4 = 0$

Этап 4

Приравняем $4 x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $4 x + 3$ к $0$ .

$4 x + 3 = 0$

Этап 4.2

Решим $4 x + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$4 x = - 3$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $4 x = - 3$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = - 3$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Этап 4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{4}$

Этап 4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3}{4}$

Этап 5

Приравняем $3 x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $3 x - 4$ к $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Этап 5.2

Решим $3 x - 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 4$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $3 x = 4$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 4$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(4 x + 3) (3 x - 4) = 0$ верно.

$x = - \frac{3}{4}, \frac{4}{3}$

Этап 7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{3}{4}$

$- \frac{3}{4} < x < \frac{4}{3}$

$x > \frac{4}{3}$

Этап 8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{3}{4}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{3}{4}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 3$

Этап 8.1.2

Заменим $x$ на $- 3$ в исходном неравенстве.

$12 {(- 3)}^{2} - 7 \cdot - 3 - 12 < 0$

Этап 8.1.3

Левая часть $117$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 8.2

Проверим значение на интервале $- \frac{3}{4} < x < \frac{4}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{3}{4} < x < \frac{4}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 8.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$12 {(0)}^{2} - 7 \cdot 0 - 12 < 0$

Этап 8.2.3

Левая часть $- 12$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 8.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{4}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{4}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 8.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$12 {(4)}^{2} - 7 \cdot 4 - 12 < 0$

Этап 8.3.3

Левая часть $152$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{3}{4}$ Ложь

$- \frac{3}{4} < x < \frac{4}{3}$ Истина

$x > \frac{4}{3}$ Ложь

$x < - \frac{3}{4}$ Ложь

$- \frac{3}{4} < x < \frac{4}{3}$ Истина

$x > \frac{4}{3}$ Ложь

Этап 9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- \frac{3}{4} < x < \frac{4}{3}$

Этап 10

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \frac{3}{4}, \frac{4}{3})$

Этап 11