Математический анализ Примеры

$\frac{2 x + 4}{3 x - 2} < 1$

Этап 1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$\frac{2 x + 4}{3 x - 2} - 1 < 0$

Этап 2

Упростим $\frac{2 x + 4}{3 x - 2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 4}{3 x - 2} - 1 < 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot 2}{3 x - 2} - 1 < 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2 \cdot 2$ .

$\frac{2 (x + 2)}{3 x - 2} - 1 < 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 x - 2}{3 x - 2}$ .

$\frac{2 (x + 2)}{3 x - 2} - 1 \cdot \frac{3 x - 2}{3 x - 2} < 0$

Этап 2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{3 x - 2}{3 x - 2}$ .

$\frac{2 (x + 2)}{3 x - 2} + \frac{- (3 x - 2)}{3 x - 2} < 0$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 (x + 2) - (3 x - 2)}{3 x - 2} < 0$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x + 2 \cdot 2 - (3 x - 2)}{3 x - 2} < 0$

Этап 2.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{2 x + 4 - (3 x - 2)}{3 x - 2} < 0$

Этап 2.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x + 4 - (3 x) - - 2}{3 x - 2} < 0$

Этап 2.5.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{2 x + 4 - 3 x - - 2}{3 x - 2} < 0$

Этап 2.5.5

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{2 x + 4 - 3 x + 2}{3 x - 2} < 0$

Этап 2.5.6

Вычтем $3 x$ из $2 x$ .

$\frac{- x + 4 + 2}{3 x - 2} < 0$

Этап 2.5.7

Добавим $4$ и $2$ .

$\frac{- x + 6}{3 x - 2} < 0$

Этап 2.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{- (x) + 6}{3 x - 2} < 0$

Этап 2.7

Перепишем $6$ в виде $- 1 (- 6)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 6)}{3 x - 2} < 0$

Этап 2.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 6)$ .

$\frac{- (x - 6)}{3 x - 2} < 0$

Этап 2.9

Перепишем $- (x - 6)$ в виде $- 1 (x - 6)$ .

$\frac{- 1 (x - 6)}{3 x - 2} < 0$

Этап 2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x - 6}{3 x - 2} < 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x - 6 = 0$

$3 x - 2 = 0$

Этап 4

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 5

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 2$

Этап 6

Разделим каждый член $3 x = 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $3 x = 2$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Этап 6.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Этап 7

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 6$

$x = \frac{2}{3}$

Этап 8

Объединим решения.

$x = 6, \frac{2}{3}$

Этап 9

Найдем область определения $- \frac{x - 6}{3 x - 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Зададим знаменатель в $\frac{x - 6}{3 x - 2}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$3 x - 2 = 0$

Этап 9.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 2$

Этап 9.2.2

Разделим каждый член $3 x = 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 2$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Этап 9.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Этап 9.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Этап 9.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}, \infty)$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < \frac{2}{3}$

$\frac{2}{3} < x < 6$

$x > 6$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $x < \frac{2}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $x < \frac{2}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{2 (0) + 4}{3 (0) - 2} < 1$

Этап 11.1.3

Левая часть $- 2$ меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $\frac{2}{3} < x < 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{2}{3} < x < 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$\frac{2 (3) + 4}{3 (3) - 2} < 1$

Этап 11.2.3

Левая часть $1.\overline{428571}$ не меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $x > 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $x > 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 11.3.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$\frac{2 (8) + 4}{3 (8) - 2} < 1$

Этап 11.3.3

Левая часть $0.\overline{90}$ меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < \frac{2}{3}$ Истина

$\frac{2}{3} < x < 6$ Ложь

$x > 6$ Истина

$x < \frac{2}{3}$ Истина

$\frac{2}{3} < x < 6$ Ложь

$x > 6$ Истина

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < \frac{2}{3}$ или $x > 6$

Этап 13

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, \frac{2}{3}) \cup (6, \infty)$

Этап 14