Математический анализ Примеры

$x (x + 9) \cdot (x + 6)$

Этап 1

Пусть $u = x + 6$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x + 6$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x + 6$ .

$\frac{d}{d x} [x + 6]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.1.4

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int (u - 6) (u - 6 + 9) \cdot u d u$

Этап 2

Добавим $- 6$ и $9$ .

$\int (u - 6) (u + 3) u d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (u (u + 3) - 6 (u + 3)) u d u$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (u \cdot u + u \cdot 3 - 6 (u + 3)) u d u$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (u \cdot u + u \cdot 3 - 6 u - 6 \cdot 3) u d u$

Этап 3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (u \cdot u + u \cdot 3) u + (- 6 u - 6 \cdot 3) u d u$

Этап 3.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\int u \cdot u \cdot u + u \cdot 3 u + (- 6 u - 6 \cdot 3) u d u$

Этап 3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\int u \cdot u \cdot u + u \cdot 3 u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

Этап 3.7

Изменим порядок $u$ и $3$ .

$\int u \cdot u \cdot u + 3 \cdot u \cdot u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

Этап 3.8

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int u^{1} u \cdot u + 3 u \cdot u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

Этап 3.9

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int u^{1} u^{1} u + 3 u \cdot u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

Этап 3.10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int u^{1 + 1} u + 3 u \cdot u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

Этап 3.11

Добавим $1$ и $1$ .

$\int u^{2} u + 3 u \cdot u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

Этап 3.12

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int u^{2} u^{1} + 3 u \cdot u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

Этап 3.13

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int u^{2 + 1} + 3 u \cdot u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

Этап 3.14

Добавим $2$ и $1$ .

$\int u^{3} + 3 u \cdot u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

Этап 3.15

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int u^{3} + 3 (u^{1} u) - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

Этап 3.16

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int u^{3} + 3 (u^{1} u^{1}) - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

Этап 3.17

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int u^{3} + 3 u^{1 + 1} - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

Этап 3.18

Добавим $1$ и $1$ .

$\int u^{3} + 3 u^{2} - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

Этап 3.19

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int u^{3} + 3 u^{2} - 6 (u^{1} u) - 6 \cdot 3 u d u$

Этап 3.20

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int u^{3} + 3 u^{2} - 6 (u^{1} u^{1}) - 6 \cdot 3 u d u$

Этап 3.21

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int u^{3} + 3 u^{2} - 6 u^{1 + 1} - 6 \cdot 3 u d u$

Этап 3.22

Добавим $1$ и $1$ .

$\int u^{3} + 3 u^{2} - 6 u^{2} - 6 \cdot 3 u d u$

Этап 3.23

Умножим $- 6$ на $3$ .

$\int u^{3} + 3 u^{2} - 6 u^{2} - 18 u d u$

Этап 3.24

Вычтем $6 u^{2}$ из $3 u^{2}$ .

$\int u^{3} - 3 u^{2} - 18 u d u$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int u^{3} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int - 18 u d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{3}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 3 u^{2} d u + \int - 18 u d u$

Этап 6

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 \int u^{2} d u + \int - 18 u d u$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int - 18 u d u$

Этап 8

Поскольку $- 18$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 18$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) - 18 \int u d u$

Этап 9

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) - 18 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} - 18 (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Этап 10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $u^{2}$ .

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} - 18 \frac{u^{2}}{2} + C$

Этап 10.2.2

Объединим $- 18$ и $\frac{u^{2}}{2}$ .

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{- 18 u^{2}}{2} + C$

Этап 10.2.3

Сократим общий множитель $- 18$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 18 u^{2}$ .

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{2 (- 9 u^{2})}{2} + C$

Этап 10.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{2 (- 9 u^{2})}{2 (1)} + C$

Этап 10.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{2 (- 9 u^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Этап 10.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{- 9 u^{2}}{1} + C$

Этап 10.2.3.2.4

Разделим $- 9 u^{2}$ на $1$ .

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} - 9 u^{2} + C$

Этап 11

Заменим все вхождения $u$ на $x + 6$ .

$\frac{{(x + 6)}^{4}}{4} - {(x + 6)}^{3} - 9 {(x + 6)}^{2} + C$

Этап 12

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{4} {(x + 6)}^{4} - {(x + 6)}^{3} - 9 {(x + 6)}^{2} + C$