Математический анализ Примеры

$\frac{x}{y} + \sqrt{x + y} = e^{x y}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + y}$ в виде ${(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x}{y} + {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = e^{x y}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\frac{x}{y} + {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (e^{x y})$

Этап 3

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $\frac{x}{y} + {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [{(x + y)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [{(x + y)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$\frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [{(x + y)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [{(x + y)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [{(x + y)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2.4

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [{(x + y)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [{(x + y)}^{\frac{1}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + y$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 3.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 3.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + y$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.3.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + y')$

Этап 3.3.5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + y')$

Этап 3.3.6

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + y')$

Этап 3.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + y')$

Этап 3.3.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + y')$

Этап 3.3.8.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + y')$

Этап 3.3.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2} {(x + y)}^{- \frac{1}{2}} (1 + y')$

Этап 3.3.10

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{{(x + y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (1 + y')$

Этап 3.3.11

Перенесем ${(x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y')$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Чтобы записать $\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y')$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}}$

Этап 3.4.1.2

Объединим $\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y')$ и $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') y^{2}}{y^{2}}$

Этап 3.4.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{y - x y' + \frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') y^{2}}{y^{2}}$

Этап 3.4.1.4

Объединим $y^{2}$ и $\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y - x y' + \frac{y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y')}{y^{2}}$

Этап 3.4.2

Изменим порядок членов.

$\frac{- x y' + (1 + y') \frac{y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y}{y^{2}}$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 4.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x y$ .

$e^{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$e^{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$e^{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{x y} (x y' + y \cdot 1)$

Этап 4.5

Умножим $y$ на $1$ .

$e^{x y} (x y' + y)$

Этап 4.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y$

Этап 4.6.2

Изменим порядок членов.

$e^{x y} x y' + e^{x y} y$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{- x y' + (1 + y') (\frac{y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}) + y}{y^{2}} = e^{x y} x y' + e^{x y} y$

Этап 6

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим обе части на $y^{2}$ .

$\frac{- x y' + (1 + y') \frac{y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y}{y^{2}} y^{2} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Упростим $\frac{- x y' + (1 + y') \frac{y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y}{y^{2}} y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- x y' + (1 + y') \frac{y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y}{y^{2}} y^{2} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

Этап 6.2.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$- x y' + (1 + y') \frac{y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

Этап 6.2.1.1.2

Умножим $1 + y'$ на $\frac{y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- x y' + \frac{(1 + y') y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

Этап 6.2.1.1.3

Чтобы записать $- x y'$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- x y' \cdot \frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{(1 + y') y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

Этап 6.2.1.1.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.4.1

Объединим $- x y'$ и $\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- x y' (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{(1 + y') y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

Этап 6.2.1.1.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- x y' (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + (1 + y') y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

Этап 6.2.1.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + (1 + y') y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

Этап 6.2.1.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 1 y^{2} + y' y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

Этап 6.2.1.1.5.3

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$\frac{- 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + y^{2} + y' y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

Этап 6.2.1.1.6

Чтобы записать $y$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + y^{2} + y' y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y \cdot \frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

Этап 6.2.1.1.7

Объединим $y$ и $\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + y^{2} + y' y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

Этап 6.2.1.1.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + y^{2} + y' y^{2} + y (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

Этап 6.2.1.1.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + y^{2} + y' y^{2} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

Этап 6.2.1.1.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + y^{2} + y' y^{2} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

Этап 6.2.1.1.11

Вынесем множитель $- 1$ из $y^{2}$ .

$\frac{- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - 1 (- y^{2}) + y' y^{2} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

Этап 6.2.1.1.12

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - 1 (- y^{2})$ .

$\frac{- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2}) + y' y^{2} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

Этап 6.2.1.1.13

Вынесем множитель $- 1$ из $y' y^{2}$ .

$\frac{- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2}) - (- y' y^{2}) + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

Этап 6.2.1.1.14

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2}) - (- y' y^{2})$ .

$\frac{- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2}) + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

Этап 6.2.1.1.15

Вынесем множитель $- 1$ из $2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2}) - (- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

Этап 6.2.1.1.16

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2}) - (- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

Этап 6.2.1.1.17

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.17.1

Перепишем $- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ в виде $- 1 (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{- 1 (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

Этап 6.2.1.1.17.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

Этап 6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим $(e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = e^{x y} x y' y^{2} + e^{x y} y \cdot y^{2}$

Этап 6.2.2.1.2

Умножим $y$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.1

Перенесем $y^{2}$ .

$- \frac{2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = e^{x y} x y' y^{2} + e^{x y} (y^{2} y)$

Этап 6.2.2.1.2.2

Умножим $y^{2}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$- \frac{2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = e^{x y} x y' y^{2} + e^{x y} (y^{2} y^{1})$

Этап 6.2.2.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = e^{x y} x y' y^{2} + e^{x y} y^{2 + 1}$

Этап 6.2.2.1.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$- \frac{2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = e^{x y} x y' y^{2} + e^{x y} y^{3}$

Этап 6.2.2.1.3

Изменим порядок множителей в $e^{x y} x y' y^{2} + e^{x y} y^{3}$ .

$- \frac{2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = x y' y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}$

Этап 6.2.2.1.4

Изменим порядок $x$ и $y'$ .

$- \frac{2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}$

Этап 6.3

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим обе части на $2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Упростим $- \frac{2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.1

Сократим общий множитель $2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ в числитель.

$\frac{- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.1.1.1.2

Сократим общий множитель.

Этап 6.3.2.1.1.1.3

Перепишем это выражение.

$- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - - y^{2} - (- y' y^{2}) - (- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.3.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 (x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - - y^{2} - (- y' y^{2}) - (- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.1.1.3.2

Умножим $- - y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.3.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 2 (x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + 1 y^{2} - (- y' y^{2}) - (- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.1.1.3.2.2

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$- 2 (x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + y^{2} - (- y' y^{2}) - (- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.1.1.3.3

Умножим $- (- y' y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 2 (x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + y^{2} + 1 (y' y^{2}) - (- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.1.1.3.3.2

Умножим $y'$ на $1$ .

$- 2 (x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + y^{2} + y' y^{2} - (- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.1.1.3.4

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$- 2 (x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + y^{2} + y' y^{2} + 2 (y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.1.1.4

Избавимся от скобок.

$- 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + y^{2} + y' y^{2} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.1.1.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.5.1

Перенесем $x$ .

$- 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + y^{2} + y' y^{2} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.1.1.5.2

Перенесем $- 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y^{2} + y' y^{2} - 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.1.1.5.3

Изменим порядок $y^{2}$ и $y' y^{2}$ .

$y' y^{2} + y^{2} - 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Упростим $(y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y' y^{2} + y^{2} - 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = y' x y^{2} e^{x y} (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + y^{3} e^{x y} (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.2.1.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y' y^{2} + y^{2} - 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 y' x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + y^{3} e^{x y} (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.2.1.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y' y^{2} + y^{2} - 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 y' x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.3.3

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Вычтем $2 y' x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ из обеих частей уравнения.

$y' y^{2} + y^{2} - 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 y' x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.3.3.2

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Вычтем $y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$y' y^{2} - 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 y' x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2}$

Этап 6.3.3.2.2

Вычтем $2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ из обеих частей уравнения.

$y' y^{2} - 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 y' x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.3.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' y^{2} - 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 y' x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.3.1

Вынесем множитель $y'$ из $y' y^{2}$ .

$y' (y^{2}) - 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 y' x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.3.3.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $- 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' (y^{2}) + y' (- 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - 2 y' x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.3.3.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $- 2 y' x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' (y^{2}) + y' (- 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + y' (- 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.3.3.3.4

Вынесем множитель $y'$ из $y' (y^{2}) + y' (- 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ .

$y' (y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + y' (- 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.3.3.3.5

Вынесем множитель $y'$ из $y' (y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + y' (- 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ .

$y' (y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.3.3.4

Разделим каждый член $y' (y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ на $y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.4.1

$\frac{y' (y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- y^{2}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.3.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.4.2.1

Сократим общий множитель.

Этап 6.3.3.4.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- y^{2}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.3.3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.4.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y^{2}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.3.3.4.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y^{2}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.3.3.4.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.4.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.3.3.4.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.3.3.4.3.2.3

Вынесем множитель $y$ из $2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.4.3.2.3.1

Вынесем множитель $y$ из $2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{y (2 y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.3.3.4.3.2.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y (2 y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + y (- y) - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.3.3.4.3.2.3.3

Вынесем множитель $y$ из $- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{y (2 y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + y (- y) + y (- 2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.3.3.4.3.2.3.4

Вынесем множитель $y$ из $y (2 y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + y (- y)$ .

$y' = \frac{y (2 y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y) + y (- 2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.3.3.4.3.2.3.5

Вынесем множитель $y$ из $y (2 y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y) + y (- 2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ .

$y' = \frac{y (2 y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y - 2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y - 2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$