Математический анализ Примеры

$\frac{x}{y} - x^{2} = 1$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\frac{x}{y} - x^{2}) = \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\frac{x}{y} - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$\frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 2.2.4

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} - (2 x)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} - 2 x$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Чтобы записать $- 2 x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} - 2 x \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}}$

Этап 2.4.1.2

Объединим $- 2 x$ и $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{- 2 x y^{2}}{y^{2}}$

Этап 2.4.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{y - x y' - 2 x y^{2}}{y^{2}}$

Этап 2.4.2

Изменим порядок членов.

$\frac{- x y' - 2 y^{2} x + y}{y^{2}}$

Этап 3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{- x y' - 2 y^{2} x + y}{y^{2}} = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем числитель к нулю.

$- x y' - 2 y^{2} x + y = 0$

Этап 5.2

Решим уравнение относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Добавим $2 y^{2} x$ к обеим частям уравнения.

$- x y' + y = 2 y^{2} x$

Этап 5.2.1.2

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$- x y' = 2 y^{2} x - y$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $- x y' = 2 y^{2} x - y$ на $- x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $- x y' = 2 y^{2} x - y$ на $- x$ .

$\frac{- x y'}{- x} = \frac{2 y^{2} x}{- x} + \frac{- y}{- x}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x y'}{x} = \frac{2 y^{2} x}{- x} + \frac{- y}{- x}$

Этап 5.2.2.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y'}{x} = \frac{2 y^{2} x}{- x} + \frac{- y}{- x}$

Этап 5.2.2.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{2 y^{2} x}{- x} + \frac{- y}{- x}$

Этап 5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 y^{2} x}{- x} + \frac{- y}{- x}$

Этап 5.2.2.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{2 y^{2}}{- 1} + \frac{- y}{- x}$

Этап 5.2.2.3.1.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{2 y^{2}}{- 1}$ .

$y' = - 1 \cdot (2 y^{2}) + \frac{- y}{- x}$

Этап 5.2.2.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot (2 y^{2})$ в виде $- (2 y^{2})$ .

$y' = - (2 y^{2}) + \frac{- y}{- x}$

Этап 5.2.2.3.1.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y' = - 2 y^{2} + \frac{- y}{- x}$

Этап 5.2.2.3.1.4

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y' = - 2 y^{2} + \frac{y}{x}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 y^{2} + \frac{y}{x}$