Математический анализ Примеры

$x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}} = 1$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}}) = \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- y^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- y^{\frac{1}{3}}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- y^{\frac{1}{3}}]$

Этап 2.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- y^{\frac{1}{3}}]$

Этап 2.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- y^{\frac{1}{3}}]$

Этап 2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- y^{\frac{1}{3}}]$

Этап 2.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- y^{\frac{1}{3}}]$

Этап 2.2.5.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [- y^{\frac{1}{3}}]$

Этап 2.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [- y^{\frac{1}{3}}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- y^{\frac{1}{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y^{\frac{1}{3}}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1} y')$

Этап 2.3.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y')$

Этап 2.3.5

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y')$

Этап 2.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (\frac{1}{3} y^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} y')$

Этап 2.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (\frac{1}{3} y^{\frac{1 - 3}{3}} y')$

Этап 2.3.7.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (\frac{1}{3} y^{\frac{- 2}{3}} y')$

Этап 2.3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (\frac{1}{3} y^{- \frac{2}{3}} y')$

Этап 2.3.9

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (\frac{y^{- \frac{2}{3}}}{3} y')$

Этап 2.3.10

Объединим $\frac{y^{- \frac{2}{3}}}{3}$ и $y'$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - \frac{y^{- \frac{2}{3}} y'}{3}$

Этап 2.3.11

Перенесем $y^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} - \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.4.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} = - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.2

Разделим каждый член $- \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} = - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $- \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} = - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ на $- 1$ .

$\frac{- \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}}{- 1} = \frac{- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{- 1}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}}{1} = \frac{- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{- 1}$

Этап 5.2.2.2

Разделим $\frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$ на $1$ .

$\frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} = \frac{- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{- 1}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} = \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

Этап 5.2.3.2

Разделим $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ на $1$ .

$\frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.3

Умножим обе части на $3 y^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}}) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}})$

Этап 5.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Упростим $\frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}})$

Этап 5.4.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}})$

Этап 5.4.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}})$

Этап 5.4.1.1.3

Сократим общий множитель $y^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}})$

Этап 5.4.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}})$

Этап 5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y' = 3 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}}$

Этап 5.4.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = 3 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}}$

Этап 5.4.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}}$

Этап 5.4.2.1.3

Объединим $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ и $y^{\frac{2}{3}}$ .

$y' = \frac{y^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$