Математический анализ Примеры

Вынесем множитель ${\displaystyle 7}$ из ${\displaystyle 7xy}$.

Применим правило умножения к ${\displaystyle 7\left(xy\right)}$.

Поскольку ${\displaystyle 7^{\frac{1}{2}}}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 7^{\frac{1}{2}}{\left(xy\right)}^{\frac{1}{2}}}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 7^{\frac{1}{2}}\frac{d}{dx}\left[{\left(xy\right)}^{\frac{1}{2}}\right]}$.

Чтобы применить цепное правило, зададим ${\displaystyle u}$ как ${\displaystyle xy}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{du}\left[u^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{u}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=\frac{1}{2}}$.

Заменим все вхождения ${\displaystyle u}$ на ${\displaystyle xy}$.

Умножим ${\displaystyle -1}$ на ${\displaystyle 2}$.

Вычтем ${\displaystyle 2}$ из ${\displaystyle 1}$.

Вынесем знак минуса перед дробью.

Объединим ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ и ${\displaystyle {\left(xy\right)}^{-\frac{1}{2}}}$.

Перенесем ${\displaystyle {\left(xy\right)}^{-\frac{1}{2}}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Объединим ${\displaystyle \frac{1}{2{\left(xy\right)}^{\frac{1}{2}}}}$ и ${\displaystyle 7^{\frac{1}{2}}}$.

Применим правило умножения к ${\displaystyle xy}$.

Применим свойство дистрибутивности.

Объединим термины.

По правилу суммы производная ${\displaystyle 5+x^{2}y}$ по ${\displaystyle x}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[5\right]+\frac{d}{dx}\left[x^{2}y\right]}$.

Поскольку ${\displaystyle 5}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 5}$ относительно ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 0}$.

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]+g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^2}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=y}$.

Перепишем ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[y\right]}$ в виде ${\displaystyle y\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=2}$.

Перенесем ${\displaystyle 2}$ влево от ${\displaystyle y}$.

Добавим ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle x^{2}y\mathrm{<mo>\prime </mo>}+2yx}$.

Изменим порядок членов.

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

Так как ${\displaystyle 2y^{\frac{1}{2}},2x^{\frac{1}{2}},1,1,1}$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части ${\displaystyle 2,2,1,1,1}$, затем найдем НОК для части с переменной ${\displaystyle y^{\frac{1}{2}},x^{\frac{1}{2}}}$.

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

Поскольку ${\displaystyle 2}$ не имеет множителей, кроме ${\displaystyle 1}$ и ${\displaystyle 2}$.

Число ${\displaystyle 1}$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

НОК ${\displaystyle 2,2,1,1,1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

НОК ${\displaystyle y^{\frac{1}{2}},x^{\frac{1}{2}}}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

НОК ${\displaystyle 2y^{\frac{1}{2}},2x^{\frac{1}{2}},1,1,1}$ представляет собой произведение числовой части ${\displaystyle 2}$ и переменной части.

Умножим каждый член ${\displaystyle \frac{y\mathrm{<mo>\prime </mo>}{x}^{\frac{1}{2}}\cdot 7^{\frac{1}{2}}}{2y^{\frac{1}{2}}}+\frac{7^{\frac{1}{2}}{y}^{\frac{1}{2}}}{2x^{\frac{1}{2}}}-x^{2}y\mathrm{<mo>\prime </mo>}-2xy=0}$ на ${\displaystyle 2y^{\frac{1}{2}}{x}^{\frac{1}{2}}}$.

Упростим левую часть.