Математический анализ Примеры

$\frac{9}{x} + \frac{9}{y} = 8$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\frac{9}{x} + \frac{9}{y}) = \frac{d}{d x} (8)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\frac{9}{x} + \frac{9}{y}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{9}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{9}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{9}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{9}{x}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$9 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}]$

Этап 2.2.4

Умножим $- 1$ на $9$ .

$- 9 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{9}{y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{9}{y}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$ .

$- 9 x^{- 2} + 9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1$ и $g (x) = y$ .

$- 9 x^{- 2} + 9 \frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 2.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 9 x^{- 2} + 9 \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 2.3.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- 9 x^{- 2} + 9 \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Этап 2.3.5

Умножим $y$ на $0$ .

$- 9 x^{- 2} + 9 \frac{0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Этап 2.3.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 9 x^{- 2} + 9 \frac{0 - y'}{y^{2}}$

Этап 2.3.7

Вычтем $y'$ из $0$ .

$- 9 x^{- 2} + 9 \frac{- y'}{y^{2}}$

Этап 2.3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 9 x^{- 2} + 9 (- \frac{y'}{y^{2}})$

Этап 2.3.9

Умножим $- 1$ на $9$ .

$- 9 x^{- 2} - 9 \frac{y'}{y^{2}}$

Этап 2.3.10

Объединим $- 9$ и $\frac{y'}{y^{2}}$ .

$- 9 x^{- 2} + \frac{- 9 y'}{y^{2}}$

Этап 2.3.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 9 x^{- 2} - \frac{9 y'}{y^{2}}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 \frac{1}{x^{2}} - \frac{9 y'}{y^{2}}$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Объединим $- 9$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 9}{x^{2}} - \frac{9 y'}{y^{2}}$

Этап 2.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{9}{x^{2}} - \frac{9 y'}{y^{2}}$

Этап 3

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- \frac{9}{x^{2}} - \frac{9 y'}{y^{2}} = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $\frac{9}{x^{2}}$ к обеим частям уравнения.

$- \frac{9 y'}{y^{2}} = \frac{9}{x^{2}}$

Этап 5.2

Разделим каждый член $- \frac{9 y'}{y^{2}} = \frac{9}{x^{2}}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $- \frac{9 y'}{y^{2}} = \frac{9}{x^{2}}$ на $- 1$ .

$\frac{- \frac{9 y'}{y^{2}}}{- 1} = \frac{\frac{9}{x^{2}}}{- 1}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\frac{9 y'}{y^{2}}}{1} = \frac{\frac{9}{x^{2}}}{- 1}$

Этап 5.2.2.2

Разделим $\frac{9 y'}{y^{2}}$ на $1$ .

$\frac{9 y'}{y^{2}} = \frac{\frac{9}{x^{2}}}{- 1}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\frac{9}{x^{2}}}{- 1}$ .

$\frac{9 y'}{y^{2}} = - 1 \cdot \frac{9}{x^{2}}$

Этап 5.2.3.2

Перепишем $- 1 \cdot \frac{9}{x^{2}}$ в виде $- \frac{9}{x^{2}}$ .

$\frac{9 y'}{y^{2}} = - \frac{9}{x^{2}}$

Этап 5.3

Умножим обе части на $y^{2}$ .

$\frac{9 y'}{y^{2}} y^{2} = - \frac{9}{x^{2}} y^{2}$

Этап 5.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 y'}{y^{2}} y^{2} = - \frac{9}{x^{2}} y^{2}$

Этап 5.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$9 y' = - \frac{9}{x^{2}} y^{2}$

Этап 5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим $- \frac{9}{x^{2}} y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Объединим $y^{2}$ и $\frac{9}{x^{2}}$ .

$9 y' = - \frac{y^{2} \cdot 9}{x^{2}}$

Этап 5.4.2.1.2

Перенесем $9$ влево от $y^{2}$ .

$9 y' = - \frac{9 y^{2}}{x^{2}}$

Этап 5.5

Разделим каждый член $9 y' = - \frac{9 y^{2}}{x^{2}}$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $9 y' = - \frac{9 y^{2}}{x^{2}}$ на $9$ .

$\frac{9 y'}{9} = \frac{- \frac{9 y^{2}}{x^{2}}}{9}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 y'}{9} = \frac{- \frac{9 y^{2}}{x^{2}}}{9}$

Этап 5.5.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- \frac{9 y^{2}}{x^{2}}}{9}$

Этап 5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y' = - \frac{9 y^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{9}$

Этап 5.5.3.2

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{9 y^{2}}{x^{2}}$ в числитель.

$y' = \frac{- 9 y^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{9}$

Этап 5.5.3.2.2

Вынесем множитель $9$ из $- 9 y^{2}$ .

$y' = \frac{9 (- y^{2})}{x^{2}} \cdot \frac{1}{9}$

Этап 5.5.3.2.3

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{9 (- y^{2})}{x^{2}} \cdot \frac{1}{9}$

Этап 5.5.3.2.4

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- y^{2}}{x^{2}}$

Этап 5.5.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x^{2}}$