Математический анализ Примеры

$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 1$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\frac{1}{x} - \frac{1}{y}) = \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{x} - \frac{1}{y}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{1}{y}$ .

$- x^{- 2} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1$ и $g (x) = y$ .

$- x^{- 2} - \frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- x^{- 2} - \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- x^{- 2} - \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- x^{- 2} - \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \cdot 0$

Этап 2.3.6

Умножим $y$ на $0$ .

$- x^{- 2} - \frac{0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \cdot 0$

Этап 2.3.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- x^{- 2} - \frac{0 - y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \cdot 0$

Этап 2.3.8

Вычтем $y'$ из $0$ .

$- x^{- 2} - \frac{- y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \cdot 0$

Этап 2.3.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- x^{- 2} - - \frac{y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \cdot 0$

Этап 2.3.10

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- x^{- 2} + 1 \frac{y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \cdot 0$

Этап 2.3.11

Умножим $\frac{y'}{y^{2}}$ на $1$ .

$- x^{- 2} + \frac{y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \cdot 0$

Этап 2.3.12

Умножим $\frac{1}{y}$ на $0$ .

$- x^{- 2} + \frac{y'}{y^{2}} + 0$

Этап 2.3.13

Добавим $\frac{y'}{y^{2}}$ и $0$ .

$- x^{- 2} + \frac{y'}{y^{2}}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{y'}{y^{2}}$

Этап 2.4.2

Изменим порядок членов.

$\frac{y'}{y^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{y'}{y^{2}} - \frac{1}{x^{2}} = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $\frac{1}{x^{2}}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{y'}{y^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Этап 5.2

Умножим обе части на $y^{2}$ .

$\frac{y'}{y^{2}} y^{2} = \frac{1}{x^{2}} y^{2}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y'}{y^{2}} y^{2} = \frac{1}{x^{2}} y^{2}$

Этап 5.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{1}{x^{2}} y^{2}$

Этап 5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Объединим $\frac{1}{x^{2}}$ и $y^{2}$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}}$