Математический анализ Примеры

${(3 y^{3} - 7)}^{5} + 5 x^{3} = 15 x$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} ({(3 y^{3} - 7)}^{5} + 5 x^{3}) = \frac{d}{d x} (15 x)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$\frac{d}{d x} [{(3 y^{3})}^{5} + 5 {(3 y^{3})}^{4} \cdot - 7 + 10 {(3 y^{3})}^{3} {(- 7)}^{2} + 10 {(3 y^{3})}^{2} {(- 7)}^{3} + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило суммы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим правило умножения к $3 y^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [3^{5} {(y^{3})}^{5} + 5 {(3 y^{3})}^{4} \cdot - 7 + 10 {(3 y^{3})}^{3} {(- 7)}^{2} + 10 {(3 y^{3})}^{2} {(- 7)}^{3} + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Этап 2.2.1.2

Возведем $3$ в степень $5$ .

$\frac{d}{d x} [243 {(y^{3})}^{5} + 5 {(3 y^{3})}^{4} \cdot - 7 + 10 {(3 y^{3})}^{3} {(- 7)}^{2} + 10 {(3 y^{3})}^{2} {(- 7)}^{3} + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Этап 2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(y^{3})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{3 \cdot 5} + 5 {(3 y^{3})}^{4} \cdot - 7 + 10 {(3 y^{3})}^{3} {(- 7)}^{2} + 10 {(3 y^{3})}^{2} {(- 7)}^{3} + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Этап 2.2.1.3.2

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} + 5 {(3 y^{3})}^{4} \cdot - 7 + 10 {(3 y^{3})}^{3} {(- 7)}^{2} + 10 {(3 y^{3})}^{2} {(- 7)}^{3} + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Этап 2.2.1.4

Применим правило умножения к $3 y^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} + 5 (3^{4} {(y^{3})}^{4}) \cdot - 7 + 10 {(3 y^{3})}^{3} {(- 7)}^{2} + 10 {(3 y^{3})}^{2} {(- 7)}^{3} + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Этап 2.2.1.5

Возведем $3$ в степень $4$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} + 5 (81 {(y^{3})}^{4}) \cdot - 7 + 10 {(3 y^{3})}^{3} {(- 7)}^{2} + 10 {(3 y^{3})}^{2} {(- 7)}^{3} + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Этап 2.2.1.6

Перемножим экспоненты в ${(y^{3})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} + 5 (81 y^{3 \cdot 4}) \cdot - 7 + 10 {(3 y^{3})}^{3} {(- 7)}^{2} + 10 {(3 y^{3})}^{2} {(- 7)}^{3} + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Этап 2.2.1.6.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} + 5 (81 y^{12}) \cdot - 7 + 10 {(3 y^{3})}^{3} {(- 7)}^{2} + 10 {(3 y^{3})}^{2} {(- 7)}^{3} + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Этап 2.2.1.7

Умножим $81$ на $5$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} + 405 y^{12} \cdot - 7 + 10 {(3 y^{3})}^{3} {(- 7)}^{2} + 10 {(3 y^{3})}^{2} {(- 7)}^{3} + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Этап 2.2.1.8

Умножим $- 7$ на $405$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} - 2835 y^{12} + 10 {(3 y^{3})}^{3} {(- 7)}^{2} + 10 {(3 y^{3})}^{2} {(- 7)}^{3} + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Этап 2.2.1.9

Применим правило умножения к $3 y^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} - 2835 y^{12} + 10 (3^{3} {(y^{3})}^{3}) {(- 7)}^{2} + 10 {(3 y^{3})}^{2} {(- 7)}^{3} + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Этап 2.2.1.10

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} - 2835 y^{12} + 10 (27 {(y^{3})}^{3}) {(- 7)}^{2} + 10 {(3 y^{3})}^{2} {(- 7)}^{3} + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Этап 2.2.1.11

Перемножим экспоненты в ${(y^{3})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.11.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} - 2835 y^{12} + 10 (27 y^{3 \cdot 3}) {(- 7)}^{2} + 10 {(3 y^{3})}^{2} {(- 7)}^{3} + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Этап 2.2.1.11.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} - 2835 y^{12} + 10 (27 y^{9}) {(- 7)}^{2} + 10 {(3 y^{3})}^{2} {(- 7)}^{3} + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Этап 2.2.1.12

Умножим $27$ на $10$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} - 2835 y^{12} + 270 y^{9} {(- 7)}^{2} + 10 {(3 y^{3})}^{2} {(- 7)}^{3} + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Этап 2.2.1.13

Возведем $- 7$ в степень $2$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} - 2835 y^{12} + 270 y^{9} \cdot 49 + 10 {(3 y^{3})}^{2} {(- 7)}^{3} + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Этап 2.2.1.14

Умножим $49$ на $270$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} - 2835 y^{12} + 13230 y^{9} + 10 {(3 y^{3})}^{2} {(- 7)}^{3} + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Этап 2.2.1.15

Применим правило умножения к $3 y^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} - 2835 y^{12} + 13230 y^{9} + 10 (3^{2} {(y^{3})}^{2}) {(- 7)}^{3} + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Этап 2.2.1.16

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} - 2835 y^{12} + 13230 y^{9} + 10 (9 {(y^{3})}^{2}) {(- 7)}^{3} + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Этап 2.2.1.17

Перемножим экспоненты в ${(y^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.17.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} - 2835 y^{12} + 13230 y^{9} + 10 (9 y^{3 \cdot 2}) {(- 7)}^{3} + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Этап 2.2.1.17.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} - 2835 y^{12} + 13230 y^{9} + 10 (9 y^{6}) {(- 7)}^{3} + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Этап 2.2.1.18

Умножим $9$ на $10$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} - 2835 y^{12} + 13230 y^{9} + 90 y^{6} {(- 7)}^{3} + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Этап 2.2.1.19

Возведем $- 7$ в степень $3$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} - 2835 y^{12} + 13230 y^{9} + 90 y^{6} \cdot - 343 + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Этап 2.2.1.20

Умножим $- 343$ на $90$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} - 2835 y^{12} + 13230 y^{9} - 30870 y^{6} + 5 (3 y^{3}) {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Этап 2.2.1.21

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} - 2835 y^{12} + 13230 y^{9} - 30870 y^{6} + 15 y^{3} {(- 7)}^{4} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Этап 2.2.1.22

Возведем $- 7$ в степень $4$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} - 2835 y^{12} + 13230 y^{9} - 30870 y^{6} + 15 y^{3} \cdot 2401 + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Этап 2.2.1.23

Умножим $2401$ на $15$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} - 2835 y^{12} + 13230 y^{9} - 30870 y^{6} + 36015 y^{3} + {(- 7)}^{5} + 5 x^{3}]$

Этап 2.2.1.24

Возведем $- 7$ в степень $5$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15} - 2835 y^{12} + 13230 y^{9} - 30870 y^{6} + 36015 y^{3} - 16807 + 5 x^{3}]$

Этап 2.2.2

По правилу суммы производная $243 y^{15} - 2835 y^{12} + 13230 y^{9} - 30870 y^{6} + 36015 y^{3} - 16807 + 5 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [243 y^{15}] + \frac{d}{d x} [- 2835 y^{12}] + \frac{d}{d x} [13230 y^{9}] + \frac{d}{d x} [- 30870 y^{6}] + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [243 y^{15}] + \frac{d}{d x} [- 2835 y^{12}] + \frac{d}{d x} [13230 y^{9}] + \frac{d}{d x} [- 30870 y^{6}] + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [243 y^{15}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $243$ является константой относительно $x$ , производная $243 y^{15}$ по $x$ равна $243 \frac{d}{d x} [y^{15}]$ .

$243 \frac{d}{d x} [y^{15}] + \frac{d}{d x} [- 2835 y^{12}] + \frac{d}{d x} [13230 y^{9}] + \frac{d}{d x} [- 30870 y^{6}] + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{15}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $y$ .

$243 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{15}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2835 y^{12}] + \frac{d}{d x} [13230 y^{9}] + \frac{d}{d x} [- 30870 y^{6}] + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 2.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 15$ .

$243 (15 {u_{1}}^{14} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2835 y^{12}] + \frac{d}{d x} [13230 y^{9}] + \frac{d}{d x} [- 30870 y^{6}] + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y$ .

$243 (15 y^{14} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2835 y^{12}] + \frac{d}{d x} [13230 y^{9}] + \frac{d}{d x} [- 30870 y^{6}] + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$243 (15 y^{14} y') + \frac{d}{d x} [- 2835 y^{12}] + \frac{d}{d x} [13230 y^{9}] + \frac{d}{d x} [- 30870 y^{6}] + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 2.3.4

Умножим $15$ на $243$ .

$3645 y^{14} y' + \frac{d}{d x} [- 2835 y^{12}] + \frac{d}{d x} [13230 y^{9}] + \frac{d}{d x} [- 30870 y^{6}] + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2835 y^{12}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 2835$ является константой относительно $x$ , производная $- 2835 y^{12}$ по $x$ равна $- 2835 \frac{d}{d x} [y^{12}]$ .

$3645 y^{14} y' - 2835 \frac{d}{d x} [y^{12}] + \frac{d}{d x} [13230 y^{9}] + \frac{d}{d x} [- 30870 y^{6}] + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 2.4.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y$ .

$3645 y^{14} y' - 2835 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{12}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [13230 y^{9}] + \frac{d}{d x} [- 30870 y^{6}] + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 2.4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 12$ .

$3645 y^{14} y' - 2835 (12 {u_{2}}^{11} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [13230 y^{9}] + \frac{d}{d x} [- 30870 y^{6}] + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 2.4.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y$ .

$3645 y^{14} y' - 2835 (12 y^{11} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [13230 y^{9}] + \frac{d}{d x} [- 30870 y^{6}] + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 2.4.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3645 y^{14} y' - 2835 (12 y^{11} y') + \frac{d}{d x} [13230 y^{9}] + \frac{d}{d x} [- 30870 y^{6}] + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 2.4.4

Умножим $12$ на $- 2835$ .

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + \frac{d}{d x} [13230 y^{9}] + \frac{d}{d x} [- 30870 y^{6}] + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 2.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [13230 y^{9}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Поскольку $13230$ является константой относительно $x$ , производная $13230 y^{9}$ по $x$ равна $13230 \frac{d}{d x} [y^{9}]$ .

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 13230 \frac{d}{d x} [y^{9}] + \frac{d}{d x} [- 30870 y^{6}] + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 2.5.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $y$ .

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 13230 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{9}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 30870 y^{6}] + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 2.5.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{3}}^{n - 1}$ , где $n = 9$ .

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 13230 (9 {u_{3}}^{8} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 30870 y^{6}] + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 2.5.2.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $y$ .

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 13230 (9 y^{8} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 30870 y^{6}] + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 2.5.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 13230 (9 y^{8} y') + \frac{d}{d x} [- 30870 y^{6}] + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 2.5.4

Умножим $9$ на $13230$ .

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 119070 y^{8} y' + \frac{d}{d x} [- 30870 y^{6}] + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 2.6

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 30870 y^{6}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Поскольку $- 30870$ является константой относительно $x$ , производная $- 30870 y^{6}$ по $x$ равна $- 30870 \frac{d}{d x} [y^{6}]$ .

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 119070 y^{8} y' - 30870 \frac{d}{d x} [y^{6}] + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 2.6.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{4}$ как $y$ .

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 119070 y^{8} y' - 30870 (\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{6}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 2.6.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{4}}^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 119070 y^{8} y' - 30870 (6 {u_{4}}^{5} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 2.6.2.3

Заменим все вхождения $u_{4}$ на $y$ .

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 119070 y^{8} y' - 30870 (6 y^{5} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 2.6.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 119070 y^{8} y' - 30870 (6 y^{5} y') + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 2.6.4

Умножим $6$ на $- 30870$ .

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 119070 y^{8} y' - 185220 y^{5} y' + \frac{d}{d x} [36015 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 2.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [36015 y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Поскольку $36015$ является константой относительно $x$ , производная $36015 y^{3}$ по $x$ равна $36015 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 119070 y^{8} y' - 185220 y^{5} y' + 36015 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 2.7.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{5}$ как $y$ .

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 119070 y^{8} y' - 185220 y^{5} y' + 36015 (\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 2.7.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{5}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 119070 y^{8} y' - 185220 y^{5} y' + 36015 (3 {u_{5}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 2.7.2.3

Заменим все вхождения $u_{5}$ на $y$ .

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 119070 y^{8} y' - 185220 y^{5} y' + 36015 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 2.7.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 119070 y^{8} y' - 185220 y^{5} y' + 36015 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 2.7.4

Умножим $3$ на $36015$ .

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 119070 y^{8} y' - 185220 y^{5} y' + 108045 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 16807] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 2.8

Поскольку $- 16807$ является константой относительно $x$ , производная $- 16807$ относительно $x$ равна $0$ .

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 119070 y^{8} y' - 185220 y^{5} y' + 108045 y^{2} y' + 0 + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 2.9

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{3}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 119070 y^{8} y' - 185220 y^{5} y' + 108045 y^{2} y' + 0 + 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.9.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 119070 y^{8} y' - 185220 y^{5} y' + 108045 y^{2} y' + 0 + 5 (3 x^{2})$

Этап 2.9.3

Умножим $3$ на $5$ .

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 119070 y^{8} y' - 185220 y^{5} y' + 108045 y^{2} y' + 0 + 15 x^{2}$

Этап 2.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Добавим $3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 119070 y^{8} y' - 185220 y^{5} y' + 108045 y^{2} y'$ и $0$ .

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 119070 y^{8} y' - 185220 y^{5} y' + 108045 y^{2} y' + 15 x^{2}$

Этап 2.10.2

Изменим порядок членов.

$15 x^{2} + 3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 119070 y^{8} y' - 185220 y^{5} y' + 108045 y^{2} y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15 x$ по $x$ равна $15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$15 \cdot 1$

Этап 3.3

Умножим $15$ на $1$ .

$15$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$15 x^{2} + 3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 119070 y^{8} y' - 185220 y^{5} y' + 108045 y^{2} y' = 15$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $15 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 119070 y^{8} y' - 185220 y^{5} y' + 108045 y^{2} y' = 15 - 15 x^{2}$

Этап 5.2

Вынесем множитель $45 y^{2} y'$ из $3645 y^{14} y' - 34020 y^{11} y' + 119070 y^{8} y' - 185220 y^{5} y' + 108045 y^{2} y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $45 y^{2} y'$ из $3645 y^{14} y'$ .

$45 y^{2} y' (81 y^{12}) - 34020 y^{11} y' + 119070 y^{8} y' - 185220 y^{5} y' + 108045 y^{2} y' = 15 - 15 x^{2}$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $45 y^{2} y'$ из $- 34020 y^{11} y'$ .

$45 y^{2} y' (81 y^{12}) + 45 y^{2} y' (- 756 y^{9}) + 119070 y^{8} y' - 185220 y^{5} y' + 108045 y^{2} y' = 15 - 15 x^{2}$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $45 y^{2} y'$ из $119070 y^{8} y'$ .

$45 y^{2} y' (81 y^{12}) + 45 y^{2} y' (- 756 y^{9}) + 45 y^{2} y' (2646 y^{6}) - 185220 y^{5} y' + 108045 y^{2} y' = 15 - 15 x^{2}$

Этап 5.2.4

Вынесем множитель $45 y^{2} y'$ из $- 185220 y^{5} y'$ .

$45 y^{2} y' (81 y^{12}) + 45 y^{2} y' (- 756 y^{9}) + 45 y^{2} y' (2646 y^{6}) + 45 y^{2} y' (- 4116 y^{3}) + 108045 y^{2} y' = 15 - 15 x^{2}$

Этап 5.2.5

Вынесем множитель $45 y^{2} y'$ из $108045 y^{2} y'$ .

$45 y^{2} y' (81 y^{12}) + 45 y^{2} y' (- 756 y^{9}) + 45 y^{2} y' (2646 y^{6}) + 45 y^{2} y' (- 4116 y^{3}) + 45 y^{2} y' \cdot 2401 = 15 - 15 x^{2}$

Этап 5.2.6

Вынесем множитель $45 y^{2} y'$ из $45 y^{2} y' (81 y^{12}) + 45 y^{2} y' (- 756 y^{9})$ .

$45 y^{2} y' (81 y^{12} - 756 y^{9}) + 45 y^{2} y' (2646 y^{6}) + 45 y^{2} y' (- 4116 y^{3}) + 45 y^{2} y' \cdot 2401 = 15 - 15 x^{2}$

Этап 5.2.7

Вынесем множитель $45 y^{2} y'$ из $45 y^{2} y' (81 y^{12} - 756 y^{9}) + 45 y^{2} y' (2646 y^{6})$ .

$45 y^{2} y' (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6}) + 45 y^{2} y' (- 4116 y^{3}) + 45 y^{2} y' \cdot 2401 = 15 - 15 x^{2}$

Этап 5.2.8

Вынесем множитель $45 y^{2} y'$ из $45 y^{2} y' (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6}) + 45 y^{2} y' (- 4116 y^{3})$ .

$45 y^{2} y' (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3}) + 45 y^{2} y' \cdot 2401 = 15 - 15 x^{2}$

Этап 5.2.9

Вынесем множитель $45 y^{2} y'$ из $45 y^{2} y' (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3}) + 45 y^{2} y' \cdot 2401$ .

$45 y^{2} y' (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401) = 15 - 15 x^{2}$

Этап 5.3

Разделим каждый член $45 y^{2} y' (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401) = 15 - 15 x^{2}$ на $45 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $45 y^{2} y' (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401) = 15 - 15 x^{2}$ на $45 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)$ .

$\frac{45 y^{2} y' (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)}{45 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)} = \frac{15}{45 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)} + \frac{- 15 x^{2}}{45 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $45$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y^{2} y' (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)}{y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)} = \frac{15}{45 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)} + \frac{- 15 x^{2}}{45 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)}{81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401} = \frac{15}{45 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)} + \frac{- 15 x^{2}}{45 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)}$

Этап 5.3.2.3

Сократим общий множитель $81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.3.2.3.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{15}{45 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)} + \frac{- 15 x^{2}}{45 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Сократим общий множитель $15$ и $45$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1.1

Вынесем множитель $15$ из $15$ .

$y' = \frac{15 (1)}{45 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)} + \frac{- 15 x^{2}}{45 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)}$

Этап 5.3.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $15$ из $45 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)$ .

$y' = \frac{15 (1)}{15 (3 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401))} + \frac{- 15 x^{2}}{45 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)}$

Этап 5.3.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{15 \cdot 1}{15 (3 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401))} + \frac{- 15 x^{2}}{45 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)}$

Этап 5.3.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{1}{3 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)} + \frac{- 15 x^{2}}{45 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)}$

Этап 5.3.3.1.2

Сократим общий множитель $- 15$ и $45$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $15$ из $- 15 x^{2}$ .

$y' = \frac{1}{3 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)} + \frac{15 (- x^{2})}{45 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)}$

Этап 5.3.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $15$ из $45 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)$ .

$y' = \frac{1}{3 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)} + \frac{15 (- x^{2})}{15 (3 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401))}$

Этап 5.3.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{1}{3 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)} + \frac{15 (- x^{2})}{15 (3 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401))}$

Этап 5.3.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{1}{3 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)} + \frac{- x^{2}}{3 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)}$

Этап 5.3.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{1}{3 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)} - \frac{x^{2}}{3 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)} - \frac{x^{2}}{3 y^{2} (81 y^{12} - 756 y^{9} + 2646 y^{6} - 4116 y^{3} + 2401)}$