Математический анализ Примеры

$x^{5 y} = y^{6 x}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{5 y}) = \frac{d}{d x} (y^{6 x})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя обобщенное правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ имеет вид $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ , где $f = x$ и $g = 5 y$ .

$\frac{d}{d x} [x] (5 y x^{5 y - 1}) + \frac{d}{d x} [5 y] (x^{5 y} \ln (x))$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 (5 y x^{5 y - 1}) + \frac{d}{d x} [5 y] (x^{5 y} \ln (x))$

Этап 2.2.2

Умножим $5$ на $1$ .

$5 (y x^{5 y - 1}) + \frac{d}{d x} [5 y] (x^{5 y} \ln (x))$

Этап 2.2.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 y$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$5 y x^{5 y - 1} + 5 \frac{d}{d x} [y] (x^{5 y} \ln (x))$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$5 y x^{5 y - 1} + 5 y' (x^{5 y} \ln (x))$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Изменим порядок членов.

$5 x^{5 y - 1} y + 5 x^{5 y} \ln (x) y'$

Этап 2.4.2

Изменим порядок множителей в $5 x^{5 y - 1} y + 5 x^{5 y} \ln (x) y'$ .

$5 y x^{5 y - 1} + 5 x^{5 y} \ln (x) y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя обобщенное правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ имеет вид $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ , где $f = y$ и $g = 6 x$ .

$\frac{d}{d x} [y] (6 x y^{6 x - 1}) + \frac{d}{d x} [6 x] (y^{6 x} \ln (y))$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$y' (6 x y^{6 x - 1}) + \frac{d}{d x} [6 x] (y^{6 x} \ln (y))$

Этап 3.3

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y' (6 x y^{6 x - 1}) + 6 \frac{d}{d x} [x] (y^{6 x} \ln (y))$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y' (6 x y^{6 x - 1}) + 6 \cdot 1 (y^{6 x} \ln (y))$

Этап 3.5

Умножим $6$ на $1$ .

$y' (6 x y^{6 x - 1}) + 6 (y^{6 x} \ln (y))$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Изменим порядок членов.

$6 y^{6 x - 1} x y' + 6 y^{6 x} \ln (y)$

Этап 3.6.2

Изменим порядок множителей в $6 y^{6 x - 1} x y' + 6 y^{6 x} \ln (y)$ .

$6 x y^{6 x - 1} y' + 6 y^{6 x} \ln (y)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$5 y x^{5 y - 1} + 5 x^{5 y} \ln (x) y' = 6 x y^{6 x - 1} y' + 6 y^{6 x} \ln (y)$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$5 x^{5 y} \ln (x) y' - 6 y^{6 x} \ln (y) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y^{6 x - 1} y'$

Этап 5.2

Изменим порядок множителей в $5 x^{5 y} \ln (x) y' - 6 y^{6 x} \ln (y)$ .

$5 y' x^{5 y} \ln (x) - 6 y^{6 x} \ln (y) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y^{6 x - 1} y'$

Этап 5.3

Изменим порядок множителей в $- 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y^{6 x - 1} y'$ .

$5 y' x^{5 y} \ln (x) - 6 y^{6 x} \ln (y) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y' y^{6 x - 1}$

Этап 5.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Упростим $5 \ln (x)$ путем переноса $5$ под логарифм.

$y' x^{5 y} \ln (x^{5}) - 6 y^{6 x} \ln (y) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y' y^{6 x - 1}$

Этап 5.4.1.2

Упростим $- 6 \ln (y)$ путем переноса $6$ под логарифм.

$y' x^{5 y} \ln (x^{5}) + y^{6 x} (- \ln (y^{6})) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y' y^{6 x - 1}$

Этап 5.4.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y' x^{5 y} \ln (x^{5}) - y^{6 x} \ln (y^{6}) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y' y^{6 x - 1}$

Этап 5.5

Изменим порядок множителей в $y' x^{5 y} \ln (x^{5}) - y^{6 x} \ln (y^{6})$ .

$y' \ln (x^{5}) x^{5 y} - \ln (y^{6}) y^{6 x} = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y' y^{6 x - 1}$

Этап 5.6

Вычтем $6 x y' y^{6 x - 1}$ из обеих частей уравнения.

$y' \ln (x^{5}) x^{5 y} - \ln (y^{6}) y^{6 x} - 6 x y' y^{6 x - 1} = - 5 y x^{5 y - 1}$

Этап 5.7

Добавим $\ln (y^{6}) y^{6 x}$ к обеим частям уравнения.

$y' \ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y' y^{6 x - 1} = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$

Этап 5.8

Вынесем множитель $y'$ из $y' \ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y' y^{6 x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Вынесем множитель $y'$ из $y' \ln (x^{5}) x^{5 y}$ .

$y' (\ln (x^{5}) x^{5 y}) - 6 x y' y^{6 x - 1} = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$

Этап 5.8.2

Вынесем множитель $y'$ из $- 6 x y' y^{6 x - 1}$ .

$y' (\ln (x^{5}) x^{5 y}) + y' (- 6 x y^{6 x - 1}) = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$

Этап 5.8.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (\ln (x^{5}) x^{5 y}) + y' (- 6 x y^{6 x - 1})$ .

$y' (\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}) = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$

Этап 5.9

Разделим каждый член $y' (\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}) = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$ на $\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1

Разделим каждый член $y' (\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}) = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$ на $\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}$ .

$\frac{y' (\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1})}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}} = \frac{- 5 y x^{5 y - 1}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}} + \frac{\ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

Этап 5.9.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.1

Сократим общий множитель $\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.1.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.9.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 5 y x^{5 y - 1}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}} + \frac{\ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

Этап 5.9.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

Этап 5.9.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 5 y x^{5 y - 1}$ .

$y' = \frac{- (5 y x^{5 y - 1}) + \ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

Этап 5.9.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $\ln (y^{6}) y^{6 x}$ .

$y' = \frac{- (5 y x^{5 y - 1}) - (- \ln (y^{6}) y^{6 x})}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

Этап 5.9.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (5 y x^{5 y - 1}) - (- \ln (y^{6}) y^{6 x})$ .

$y' = \frac{- (5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x})}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

Этап 5.9.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.3.5.1

Перепишем $- (5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x})$ в виде $- 1 (5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x})$ .

$y' = \frac{- 1 (5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x})}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

Этап 5.9.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$