Математический анализ Примеры

$x^{5} + y^{3} = \frac{1}{y}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{5} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{y})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{5} + y^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$5 x^{4} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$5 x^{4} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$5 x^{4} + 3 y^{2} y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1$ и $g (x) = y$ .

$\frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{y \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 3.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{y \cdot 0 - \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 3.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Умножим $y$ на $0$ .

$\frac{0 - \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 3.2.3.2

Вычтем $\frac{d}{d x} [y]$ из $0$ .

$\frac{- \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 3.2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- \frac{y'}{y^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$5 x^{4} + 3 y^{2} y' = - \frac{y'}{y^{2}}$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части на $y^{2}$ .

$(5 x^{4} + 3 y^{2} y') y^{2} = - \frac{y'}{y^{2}} y^{2}$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим $(5 x^{4} + 3 y^{2} y') y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{4} y^{2} + 3 y^{2} y' y^{2} = - \frac{y'}{y^{2}} y^{2}$

Этап 5.2.1.1.2

Умножим $y^{2}$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.1

Перенесем $y^{2}$ .

$5 x^{4} y^{2} + 3 (y^{2} y^{2}) y' = - \frac{y'}{y^{2}} y^{2}$

Этап 5.2.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 x^{4} y^{2} + 3 y^{2 + 2} y' = - \frac{y'}{y^{2}} y^{2}$

Этап 5.2.1.1.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$5 x^{4} y^{2} + 3 y^{4} y' = - \frac{y'}{y^{2}} y^{2}$

Этап 5.2.1.1.3

Перенесем $y^{4}$ .

$5 x^{4} y^{2} + 3 y' y^{4} = - \frac{y'}{y^{2}} y^{2}$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y'}{y^{2}}$ в числитель.

$5 x^{4} y^{2} + 3 y' y^{4} = \frac{- y'}{y^{2}} y^{2}$

Этап 5.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$5 x^{4} y^{2} + 3 y' y^{4} = \frac{- y'}{y^{2}} y^{2}$

Этап 5.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$5 x^{4} y^{2} + 3 y' y^{4} = - y'$

Этап 5.3

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Добавим $y'$ к обеим частям уравнения.

$5 x^{4} y^{2} + 3 y' y^{4} + y' = 0$

Этап 5.3.2

Вычтем $5 x^{4} y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$3 y' y^{4} + y' = - 5 x^{4} y^{2}$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $3 y' y^{4} + y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем множитель $y'$ из $3 y' y^{4}$ .

$y' (3 y^{4}) + y' = - 5 x^{4} y^{2}$

Этап 5.3.3.2

Возведем $y'$ в степень $1$ .

$y' (3 y^{4}) + y' = - 5 x^{4} y^{2}$

Этап 5.3.3.3

Вынесем множитель $y'$ из ${y'}^{1}$ .

$y' (3 y^{4}) + y' \cdot 1 = - 5 x^{4} y^{2}$

Этап 5.3.3.4

Вынесем множитель $y'$ из $y' (3 y^{4}) + y' \cdot 1$ .

$y' (3 y^{4} + 1) = - 5 x^{4} y^{2}$

Этап 5.3.4

Разделим каждый член $y' (3 y^{4} + 1) = - 5 x^{4} y^{2}$ на $3 y^{4} + 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Разделим каждый член $y' (3 y^{4} + 1) = - 5 x^{4} y^{2}$ на $3 y^{4} + 1$ .

$\frac{y' (3 y^{4} + 1)}{3 y^{4} + 1} = \frac{- 5 x^{4} y^{2}}{3 y^{4} + 1}$

Этап 5.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Сократим общий множитель $3 y^{4} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (3 y^{4} + 1)}{3 y^{4} + 1} = \frac{- 5 x^{4} y^{2}}{3 y^{4} + 1}$

Этап 5.3.4.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 5 x^{4} y^{2}}{3 y^{4} + 1}$

Этап 5.3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{5 x^{4} y^{2}}{3 y^{4} + 1}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5 x^{4} y^{2}}{3 y^{4} + 1}$