Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{3}}{4} - 3 x$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $\frac{x^{3}}{4} - 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $\frac{1}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{3}}{4}$ по $x$ равна $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

Этап 1.1.2.3

Объединим $3$ и $\frac{1}{4}$ .

$f' (x) = \frac{3}{4} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

Этап 1.1.2.4

Объединим $\frac{3}{4}$ и $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} - 3 \frac{d}{d x} x$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} - 3 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} - 3$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{3 x^{2}}{4} - 3$ .

$\frac{3 x^{2}}{4} - 3$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{3 x^{2}}{4} - 3 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{3 x^{2}}{4} - 3 = 0$

Этап 2.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$\frac{3 x^{2}}{4} = 3$

Этап 2.3

Умножим обе части уравнения на $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{4} = \frac{4}{3} \cdot 3$

Этап 2.4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Упростим $\frac{4}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1.1

Объединим.

$\frac{4 (3 x^{2})}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} \cdot 3$

Этап 2.4.1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (3 x^{2})}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} \cdot 3$

Этап 2.4.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3} \cdot 3$

Этап 2.4.1.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3} \cdot 3$

Этап 2.4.1.1.3.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{3} \cdot 3$

Этап 2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} = \frac{4}{3} \cdot 3$

Этап 2.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} = 4$

Этап 2.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Этап 2.6

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Этап 2.6.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 2$

Этап 2.7

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2$

Этап 2.7.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2$

Этап 2.7.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2, - 2$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $2, - 2$ .

$2, - 2$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 2)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f' (- 3) = \frac{3 {(- 3)}^{2}}{4} - 3$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f' (- 3) = \frac{3 \cdot 9}{4} - 3$

Этап 5.2.1.2

Умножим $3$ на $9$ .

$f' (- 3) = \frac{27}{4} - 3$

Этап 5.2.2

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f' (- 3) = \frac{27}{4} - 3 \cdot \frac{4}{4}$

Этап 5.2.3

Объединим $- 3$ и $\frac{4}{4}$ .

$f' (- 3) = \frac{27}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4}$

Этап 5.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (- 3) = \frac{27 - 3 \cdot 4}{4}$

Этап 5.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Умножим $- 3$ на $4$ .

$f' (- 3) = \frac{27 - 12}{4}$

Этап 5.2.5.2

Вычтем $12$ из $27$ .

$f' (- 3) = \frac{15}{4}$

Этап 5.2.6

Окончательный ответ: $\frac{15}{4}$ .

$\frac{15}{4}$

Этап 5.3

При $x = - 3$ производная имеет вид $\frac{15}{4}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, - 2)$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 2)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 2, 2)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = \frac{3 {(0)}^{2}}{4} - 3$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (0) = \frac{3 \cdot 0}{4} - 3$

Этап 6.2.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$f' (0) = \frac{0}{4} - 3$

Этап 6.2.1.3

Разделим $0$ на $4$ .

$f' (0) = 0 - 3$

Этап 6.2.2

Вычтем $3$ из $0$ .

$f' (0) = - 3$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 3$ .

$- 3$

Этап 6.3

При $x = 0$ производная имеет вид $- 3$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- 2, 2)$ .

Убывание на $(- 2, 2)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(2, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f' (3) = \frac{3 {(3)}^{2}}{4} - 3$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Умножим $3$ на ${(3)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Умножим $3$ на ${(3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$f' (3) = \frac{3 {(3)}^{2}}{4} - 3$

Этап 7.2.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (3) = \frac{3^{1 + 2}}{4} - 3$

Этап 7.2.1.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (3) = \frac{3^{3}}{4} - 3$

Этап 7.2.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f' (3) = \frac{27}{4} - 3$

Этап 7.2.2

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f' (3) = \frac{27}{4} - 3 \cdot \frac{4}{4}$

Этап 7.2.3

Объединим $- 3$ и $\frac{4}{4}$ .

$f' (3) = \frac{27}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4}$

Этап 7.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (3) = \frac{27 - 3 \cdot 4}{4}$

Этап 7.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1

Умножим $- 3$ на $4$ .

$f' (3) = \frac{27 - 12}{4}$

Этап 7.2.5.2

Вычтем $12$ из $27$ .

$f' (3) = \frac{15}{4}$

Этап 7.2.6

Окончательный ответ: $\frac{15}{4}$ .

$\frac{15}{4}$

Этап 7.3

При $x = 3$ производная имеет вид $\frac{15}{4}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(2, \infty)$ .

Возрастание в области $(2, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, - 2), (2, \infty)$

Убывание на: $(- 2, 2)$

Этап 9