Математический анализ Примеры

$x^{3} + x^{2} \cos (y) = y^{3}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + x^{2} \cos (y)) = \frac{d}{d x} (y^{3})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} + x^{2} \cos (y)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (y)]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (y)]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (y)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \cos (y)$ .

$3 x^{2} + x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$3 x^{2} + x^{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.2.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$3 x^{2} + x^{2} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$3 x^{2} + x^{2} (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 x^{2} + x^{2} (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} + x^{2} (- \sin (y) y') + \cos (y) (2 x)$

Этап 2.2.5

Перенесем $2$ влево от $\cos (y)$ .

$3 x^{2} + x^{2} (- \sin (y) y') + 2 \cos (y) x$

Этап 2.3

Изменим порядок членов.

$3 x^{2} - x^{2} \sin (y) y' + 2 x \cos (y)$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 y^{2} y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 x^{2} - x^{2} \sin (y) y' + 2 x \cos (y) = 3 y^{2} y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Изменим порядок множителей в $3 x^{2} - x^{2} \sin (y) y' + 2 x \cos (y)$ .

$3 x^{2} - x^{2} y' \sin (y) + 2 x \cos (y) = 3 y^{2} y'$

Этап 5.2

Вычтем $3 y^{2} y'$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} - x^{2} y' \sin (y) + 2 x \cos (y) - 3 y^{2} y' = 0$

Этап 5.3

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $3 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} y' \sin (y) + 2 x \cos (y) - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Этап 5.3.2

Вычтем $2 x \cos (y)$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} y' \sin (y) - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 2 x \cos (y)$

Этап 5.4

Вынесем множитель $y'$ из $- x^{2} y' \sin (y) - 3 y^{2} y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $y'$ из $- x^{2} y' \sin (y)$ .

$y' (- x^{2} \sin (y)) - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 2 x \cos (y)$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $y'$ из $- 3 y^{2} y'$ .

$y' (- x^{2} \sin (y)) + y' (- 3 y^{2}) = - 3 x^{2} - 2 x \cos (y)$

Этап 5.4.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- x^{2} \sin (y)) + y' (- 3 y^{2})$ .

$y' (- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}) = - 3 x^{2} - 2 x \cos (y)$

Этап 5.5

Разделим каждый член $y' (- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}) = - 3 x^{2} - 2 x \cos (y)$ на $- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $y' (- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}) = - 3 x^{2} - 2 x \cos (y)$ на $- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}$ .

$\frac{y' (- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2})}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}} + \frac{- 2 x \cos (y)}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2})}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}} + \frac{- 2 x \cos (y)}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}}$

Этап 5.5.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}} + \frac{- 2 x \cos (y)}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}}$

Этап 5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}} + \frac{- 2 x \cos (y)}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}}$

Этап 5.5.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}} - \frac{2 x \cos (y)}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}}$

Этап 5.5.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 3 x^{2} - 2 x \cos (y)}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}}$

Этап 5.5.3.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x^{2} - 2 x \cos (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- 3 x) - 2 x \cos (y)}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}}$

Этап 5.5.3.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x \cos (y)$ .

$y' = \frac{x (- 3 x) + x (- 2 \cos (y))}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}}$

Этап 5.5.3.2.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x (- 3 x) + x (- 2 \cos (y))$ .

$y' = \frac{x (- 3 x - 2 \cos (y))}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}}$

Этап 5.5.3.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x$ .

$y' = \frac{x (- (3 x) - 2 \cos (y))}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}}$

Этап 5.5.3.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 \cos (y)$ .

$y' = \frac{x (- (3 x) - (2 \cos (y)))}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}}$

Этап 5.5.3.2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x) - (2 \cos (y))$ .

$y' = \frac{x (- (3 x + 2 \cos (y)))}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}}$

Этап 5.5.3.2.6

Перепишем $- (3 x + 2 \cos (y))$ в виде $- 1 (3 x + 2 \cos (y))$ .

$y' = \frac{x (- 1 (3 x + 2 \cos (y)))}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}}$

Этап 5.5.3.2.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2} \sin (y)$ .

$y' = \frac{x (- 1 (3 x + 2 \cos (y)))}{- (x^{2} \sin (y)) - 3 y^{2}}$

Этап 5.5.3.2.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 y^{2}$ .

$y' = \frac{x (- 1 (3 x + 2 \cos (y)))}{- (x^{2} \sin (y)) - (3 y^{2})}$

Этап 5.5.3.2.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} \sin (y)) - (3 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (- 1 (3 x + 2 \cos (y)))}{- (x^{2} \sin (y) + 3 y^{2})}$

Этап 5.5.3.2.10

Перепишем $- (x^{2} \sin (y) + 3 y^{2})$ в виде $- 1 (x^{2} \sin (y) + 3 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (- 1 (3 x + 2 \cos (y)))}{- 1 (x^{2} \sin (y) + 3 y^{2})}$

Этап 5.5.3.2.11

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{x (- 1 (3 x + 2 \cos (y)))}{- 1 (x^{2} \sin (y) + 3 y^{2})}$

Этап 5.5.3.2.12

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{x (3 x + 2 \cos (y))}{x^{2} \sin (y) + 3 y^{2}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 x + 2 \cos (y))}{x^{2} \sin (y) + 3 y^{2}}$