Математический анализ Примеры

$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = 2 y$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\frac{y}{x} + \frac{x}{y}) = \frac{d}{d x} (2 y)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = y$ и $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [y] - y \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{x y' - y \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x y' - y \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Этап 2.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

$\frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}}$

Этап 2.3.4

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Чтобы записать $\frac{x y' - y}{x^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{x y' - y}{x^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}} + \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Этап 2.4.1.2

Чтобы записать $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{x y' - y}{x^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}} + \frac{y - x y'}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Этап 2.4.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x^{2} y^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.3.1

Умножим $\frac{x y' - y}{x^{2}}$ на $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{(x y' - y) y^{2}}{x^{2} y^{2}} + \frac{y - x y'}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Этап 2.4.1.3.2

Умножим $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ на $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{(x y' - y) y^{2}}{x^{2} y^{2}} + \frac{(y - x y') x^{2}}{y^{2} x^{2}}$

Этап 2.4.1.3.3

Изменим порядок множителей в $y^{2} x^{2}$ .

$\frac{(x y' - y) y^{2}}{x^{2} y^{2}} + \frac{(y - x y') x^{2}}{x^{2} y^{2}}$

Этап 2.4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x y' - y) y^{2} + (y - x y') x^{2}}{x^{2} y^{2}}$

Этап 2.4.2

Изменим порядок членов.

$\frac{y^{2} (x y' - y) + x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 y$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{y^{2} (x y' - y) + x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}} = 2 y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части на $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{y^{2} (x y' - y) + x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}} (x^{2} y^{2}) = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим $\frac{y^{2} (x y' - y) + x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}} (x^{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Сократим общий множитель $x^{2} y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{2} (x y' - y) + x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}} (x^{2} y^{2}) = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Этап 5.2.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} (x y' - y) + x^{2} (y - x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Этап 5.2.1.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} (x y') + y^{2} (- y) + x^{2} (y - x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Этап 5.2.1.1.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y^{2} x y' - y^{2} y + x^{2} (y - x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Этап 5.2.1.1.2.3

Умножим $y^{2}$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.3.1

Перенесем $y$ .

$y^{2} x y' - (y \cdot y^{2}) + x^{2} (y - x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Этап 5.2.1.1.2.3.2

Умножим $y$ на $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.3.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$y^{2} x y' - (y^{1} y^{2}) + x^{2} (y - x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Этап 5.2.1.1.2.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y^{2} x y' - y^{1 + 2} + x^{2} (y - x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Этап 5.2.1.1.2.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$y^{2} x y' - y^{3} + x^{2} (y - x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Этап 5.2.1.1.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} x y' - y^{3} + x^{2} y + x^{2} (- x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Этап 5.2.1.1.2.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y^{2} x y' - y^{3} + x^{2} y - x^{2} (x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Этап 5.2.1.1.2.6

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.6.1

Перенесем $x$ .

$y^{2} x y' - y^{3} + x^{2} y - (x \cdot x^{2}) y' = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Этап 5.2.1.1.2.6.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y^{2} x y' - y^{3} + x^{2} y - (x^{1} x^{2}) y' = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Этап 5.2.1.1.2.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y^{2} x y' - y^{3} + x^{2} y - x^{1 + 2} y' = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Этап 5.2.1.1.2.6.3

Добавим $1$ и $2$ .

$y^{2} x y' - y^{3} + x^{2} y - x^{3} y' = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Этап 5.2.1.1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.3.1

Перенесем $y^{2}$ .

$x y' y^{2} - y^{3} + x^{2} y - x^{3} y' = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Этап 5.2.1.1.3.2

Изменим порядок $x$ и $y'$ .

$y' x y^{2} - y^{3} + x^{2} y - x^{3} y' = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Этап 5.2.1.1.3.3

Перенесем $x^{3}$ .

$y' x y^{2} - y^{3} + x^{2} y - y' x^{3} = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Этап 5.2.1.1.3.4

Перенесем $- y^{3}$ .

$y' x y^{2} + x^{2} y - y' x^{3} - y^{3} = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Этап 5.2.1.1.3.5

Перенесем $x^{2} y$ .

$y' x y^{2} - y' x^{3} + x^{2} y - y^{3} = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Этап 5.2.1.1.3.6

Изменим порядок $y' x y^{2}$ и $- y' x^{3}$ .

$- y' x^{3} + y' x y^{2} + x^{2} y - y^{3} = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Избавимся от скобок.

$- y' x^{3} + y' x y^{2} + x^{2} y - y^{3} = 2 y' x^{2} y^{2}$

Этап 5.3

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $2 y' x^{2} y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- y' x^{3} + y' x y^{2} + x^{2} y - y^{3} - 2 y' x^{2} y^{2} = 0$

Этап 5.3.2

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вычтем $x^{2} y$ из обеих частей уравнения.

$- y' x^{3} + y' x y^{2} - y^{3} - 2 y' x^{2} y^{2} = - x^{2} y$

Этап 5.3.2.2

Добавим $y^{3}$ к обеим частям уравнения.

$- y' x^{3} + y' x y^{2} - 2 y' x^{2} y^{2} = - x^{2} y + y^{3}$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $y' x$ из $- y' x^{3} + y' x y^{2} - 2 y' x^{2} y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем множитель $y' x$ из $- y' x^{3}$ .

$y' x (- 1 x^{2}) + y' x y^{2} - 2 y' x^{2} y^{2} = - x^{2} y + y^{3}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем множитель $y' x$ из $y' x y^{2}$ .

$y' x (- 1 x^{2}) + y' x y^{2} - 2 y' x^{2} y^{2} = - x^{2} y + y^{3}$

Этап 5.3.3.3

Вынесем множитель $y' x$ из $- 2 y' x^{2} y^{2}$ .

$y' x (- 1 x^{2}) + y' x y^{2} + y' x (- 2 x y^{2}) = - x^{2} y + y^{3}$

Этап 5.3.3.4

Вынесем множитель $y' x$ из $y' x (- 1 x^{2}) + y' x y^{2}$ .

$y' x (- 1 x^{2} + y^{2}) + y' x (- 2 x y^{2}) = - x^{2} y + y^{3}$

Этап 5.3.3.5

Вынесем множитель $y' x$ из $y' x (- 1 x^{2} + y^{2}) + y' x (- 2 x y^{2})$ .

$y' x (- 1 x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}) = - x^{2} y + y^{3}$

Этап 5.3.4

Перепишем $- 1 x^{2}$ в виде $- x^{2}$ .

$y' x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}) = - x^{2} y + y^{3}$

Этап 5.3.5

Разделим каждый член $y' x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}) = - x^{2} y + y^{3}$ на $x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Разделим каждый член $y' x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}) = - x^{2} y + y^{3}$ на $x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})$ .

$\frac{y' x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} = \frac{- x^{2} y}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Этап 5.3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} = \frac{- x^{2} y}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Этап 5.3.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}{- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}} = \frac{- x^{2} y}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Этап 5.3.5.2.2

Сократим общий множитель $- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}{- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}} = \frac{- x^{2} y}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Этап 5.3.5.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- x^{2} y}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Этап 5.3.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.3.1.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.3.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2} y$ .

$y' = \frac{x (- x y)}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Этап 5.3.5.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{x (- x y)}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Этап 5.3.5.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- x y}{- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Этап 5.3.5.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{x y}{- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Этап 5.3.5.3.2

Чтобы записать $- \frac{x y}{- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{x y}{- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Этап 5.3.5.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}) x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.3.3.1

Умножим $\frac{x y}{- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}}$ на $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{x y x}{(- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}) x} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Этап 5.3.5.3.3.2

Изменим порядок множителей в $(- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}) x$ .

$y' = - \frac{x y x}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Этап 5.3.5.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- x y x + y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Этап 5.3.5.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.3.5.1

Вынесем множитель $y$ из $- x y x + y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.3.5.1.1

Вынесем множитель $y$ из $- x y x$ .

$y' = \frac{y (- x \cdot x) + y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Этап 5.3.5.3.5.1.2

Вынесем множитель $y$ из $y^{3}$ .

$y' = \frac{y (- x \cdot x) + y \cdot y^{2}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Этап 5.3.5.3.5.1.3

Вынесем множитель $y$ из $y (- x \cdot x) + y \cdot y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- x \cdot x + y^{2})}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Этап 5.3.5.3.5.2

Перепишем $x \cdot x$ в виде $x^{2}$ .

$y' = \frac{y (- x^{2} + y^{2})}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Этап 5.3.5.3.5.3

Изменим порядок $- x^{2}$ и $y^{2}$ .

$y' = \frac{y (y^{2} - x^{2})}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Этап 5.3.5.3.5.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = y$ и $b = x$ .

$y' = \frac{y (y + x) (y - x)}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Этап 5.3.5.3.6

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.3.6.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$y' = \frac{y (y + x) (y - x)}{x (- (x^{2}) + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Этап 5.3.5.3.6.2

Вынесем множитель $- 1$ из $y^{2}$ .

$y' = \frac{y (y + x) (y - x)}{x (- (x^{2}) - 1 (- y^{2}) - 2 x y^{2})}$

Этап 5.3.5.3.6.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - 1 (- y^{2})$ .

$y' = \frac{y (y + x) (y - x)}{x (- (x^{2} - y^{2}) - 2 x y^{2})}$

Этап 5.3.5.3.6.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x y^{2}$ .

$y' = \frac{y (y + x) (y - x)}{x (- (x^{2} - y^{2}) - (2 x y^{2}))}$

Этап 5.3.5.3.6.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - y^{2}) - (2 x y^{2})$ .

$y' = \frac{y (y + x) (y - x)}{x (- (x^{2} - y^{2} + 2 x y^{2}))}$

Этап 5.3.5.3.6.6

Перепишем отрицательные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.3.6.6.1

Перепишем $- (x^{2} - y^{2} + 2 x y^{2})$ в виде $- 1 (x^{2} - y^{2} + 2 x y^{2})$ .

$y' = \frac{y (y + x) (y - x)}{x (- 1 (x^{2} - y^{2} + 2 x y^{2}))}$

Этап 5.3.5.3.6.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y (y + x) (y - x)}{x (x^{2} - y^{2} + 2 x y^{2})}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y + x) (y - x)}{x (x^{2} - y^{2} + 2 x y^{2})}$