Математический анализ Примеры

$y^{2} (2 - x) = x^{3}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y^{2} (2 - x)) = \frac{d}{d x} (x^{3})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = y^{2}$ и $g (x) = 2 - x$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [2 - x] + (2 - x) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $2 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$y^{2} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]) + (2 - x) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$y^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (2 - x) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [- x] + (2 - x) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$y^{2} (- \frac{d}{d x} [x]) + (2 - x) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y^{2} (- 1 \cdot 1) + (2 - x) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y^{2} \cdot - 1 + (2 - x) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.2.6.2

Перенесем $- 1$ влево от $y^{2}$ .

$- 1 \cdot y^{2} + (2 - x) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.2.6.3

Перепишем $- 1 y^{2}$ в виде $- y^{2}$ .

$- y^{2} + (2 - x) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$- y^{2} + (2 - x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- y^{2} + (2 - x) (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$- y^{2} + (2 - x) (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.4

Перенесем $2$ влево от $2 - x$ .

$- y^{2} + 2 \cdot (2 - x) y \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.5

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- y^{2} + 2 (2 - x) y y'$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- y^{2} + (2 \cdot 2 + 2 (- x)) y y'$

Этап 2.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- y^{2} + (2 \cdot 2 y + 2 (- x) y) y'$

Этап 2.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- y^{2} + 2 \cdot 2 y y' + 2 (- x) y y'$

Этап 2.6.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$- y^{2} + 4 y y' + 2 (- x) y y'$

Этап 2.6.4.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- y^{2} + 4 y y' - 2 x y y'$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- y^{2} + 4 y y' - 2 x y y' = 3 x^{2}$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $y^{2}$ к обеим частям уравнения.

$4 y y' - 2 x y y' = 3 x^{2} + y^{2}$

Этап 5.2

Вынесем множитель $2 y y'$ из $4 y y' - 2 x y y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2 y y'$ из $4 y y'$ .

$2 y y' \cdot 2 - 2 x y y' = 3 x^{2} + y^{2}$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $2 y y'$ из $- 2 x y y'$ .

$2 y y' \cdot 2 + 2 y y' (- x) = 3 x^{2} + y^{2}$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $2 y y'$ из $2 y y' \cdot 2 + 2 y y' (- x)$ .

$2 y y' (2 - x) = 3 x^{2} + y^{2}$

Этап 5.3

Разделим каждый член $2 y y' (2 - x) = 3 x^{2} + y^{2}$ на $2 y (2 - x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $2 y y' (2 - x) = 3 x^{2} + y^{2}$ на $2 y (2 - x)$ .

$\frac{2 y y' (2 - x)}{2 y (2 - x)} = \frac{3 x^{2}}{2 y (2 - x)} + \frac{y^{2}}{2 y (2 - x)}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y y' (2 - x)}{2 y (2 - x)} = \frac{3 x^{2}}{2 y (2 - x)} + \frac{y^{2}}{2 y (2 - x)}$

Этап 5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y y' (2 - x)}{y (2 - x)} = \frac{3 x^{2}}{2 y (2 - x)} + \frac{y^{2}}{2 y (2 - x)}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y' (2 - x)}{y (2 - x)} = \frac{3 x^{2}}{2 y (2 - x)} + \frac{y^{2}}{2 y (2 - x)}$

Этап 5.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (2 - x)}{2 - x} = \frac{3 x^{2}}{2 y (2 - x)} + \frac{y^{2}}{2 y (2 - x)}$

Этап 5.3.2.3

Сократим общий множитель $2 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (2 - x)}{2 - x} = \frac{3 x^{2}}{2 y (2 - x)} + \frac{y^{2}}{2 y (2 - x)}$

Этап 5.3.2.3.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y (2 - x)} + \frac{y^{2}}{2 y (2 - x)}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y (2 - x)} + \frac{y \cdot y}{2 y (2 - x)}$

Этап 5.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $2 y (2 - x)$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y (2 - x)} + \frac{y \cdot y}{y (2 (2 - x))}$

Этап 5.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y (2 - x)} + \frac{y \cdot y}{y (2 (2 - x))}$

Этап 5.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y (2 - x)} + \frac{y}{2 (2 - x)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 y (2 - x)} + \frac{y}{2 (2 - x)}$