Математический анализ Примеры

$x^{x} y^{2} + 3 y = 4 x$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{x} y^{2} + 3 y) = \frac{d}{d x} (4 x)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{x} y^{2} + 3 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{x} y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{x}$ и $g (x) = y^{2}$ .

$x^{x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{x}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $y$ .

$x^{x} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{x}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{x} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{x}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y$ .

$x^{x} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{x}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x^{x} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{x}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Этап 2.2.4

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить дифференцирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Перепишем $x^{x}$ в виде $e^{\ln (x^{x})}$ .

$x^{x} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Этап 2.2.4.2

Развернем $\ln (x^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x^{x} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Этап 2.2.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x \ln (x)$ .

$x^{x} (2 y y') + y^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + \frac{d}{d x} [3 y]$

Этап 2.2.5.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x^{x} (2 y y') + y^{2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + \frac{d}{d x} [3 y]$

Этап 2.2.5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x \ln (x)$ .

$x^{x} (2 y y') + y^{2} (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + \frac{d}{d x} [3 y]$

Этап 2.2.6

$x^{x} (2 y y') + y^{2} (e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [3 y]$

Этап 2.2.7

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$x^{x} (2 y y') + y^{2} (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [3 y]$

Этап 2.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{x} (2 y y') + y^{2} (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [3 y]$

Этап 2.2.9

Перенесем $2$ влево от $x^{x}$ .

$2 \cdot x^{x} y y' + y^{2} (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [3 y]$

Этап 2.2.10

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$2 x^{x} y y' + y^{2} (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [3 y]$

Этап 2.2.11

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.1

Сократим общий множитель.

$2 x^{x} y y' + y^{2} (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [3 y]$

Этап 2.2.11.2

Перепишем это выражение.

$2 x^{x} y y' + y^{2} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [3 y]$

Этап 2.2.12

Умножим $\ln (x)$ на $1$ .

$2 x^{x} y y' + y^{2} e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} [3 y]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 y$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 x^{x} y y' + y^{2} e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x)) + 3 \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x^{x} y y' + y^{2} e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x)) + 3 y'$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{x} y y' + y^{2} e^{x \ln (x)} \cdot 1 + y^{2} e^{x \ln (x)} \ln (x) + 3 y'$

Этап 2.4.2

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$2 x^{x} y y' + y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} e^{x \ln (x)} \ln (x) + 3 y'$

Этап 2.4.3

Изменим порядок членов.

$2 x^{x} y y' + e^{x \ln (x)} y^{2} + e^{x \ln (x)} y^{2} \ln (x) + 3 y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Этап 3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 x^{x} y y' + e^{x \ln (x)} y^{2} + e^{x \ln (x)} y^{2} \ln (x) + 3 y' = 4$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$e^{x \ln (x)} y^{2} + e^{x \ln (x)} y^{2} \ln (x) = - 2 x^{x} y y' - 3 y' + 4$

Этап 5.2

Изменим порядок множителей в $e^{x \ln (x)} y^{2} + e^{x \ln (x)} y^{2} \ln (x)$ .

$y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} e^{x \ln (x)} \ln (x) = - 2 x^{x} y y' - 3 y' + 4$

Этап 5.3

Изменим порядок множителей в $- 2 x^{x} y y' - 3 y' + 4$ .

$y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} e^{x \ln (x)} \ln (x) = - 2 y y' x^{x} - 3 y' + 4$

Этап 5.4

Перепишем уравнение в виде $- 2 y y' x^{x} - 3 y' + 4 = y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} e^{x \ln (x)} \ln (x)$ .

$- 2 y y' x^{x} - 3 y' + 4 = y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Этап 5.5

Изменим порядок множителей в $y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} e^{x \ln (x)} \ln (x)$ .

$- 2 y y' x^{x} - 3 y' + 4 = y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)}$

Этап 5.6

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- 2 y y' x^{x} - 3 y' = y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4$

Этап 5.7

Вынесем множитель $y'$ из $- 2 y y' x^{x} - 3 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Вынесем множитель $y'$ из $- 2 y y' x^{x}$ .

$y' (- 2 y x^{x}) - 3 y' = y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4$

Этап 5.7.2

Вынесем множитель $y'$ из $- 3 y'$ .

$y' (- 2 y x^{x}) + y' \cdot - 3 = y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4$

Этап 5.7.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- 2 y x^{x}) + y' \cdot - 3$ .

$y' (- 2 y x^{x} - 3) = y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4$

Этап 5.8

Разделим каждый член $y' (- 2 y x^{x} - 3) = y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4$ на $- 2 y x^{x} - 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Разделим каждый член $y' (- 2 y x^{x} - 3) = y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4$ на $- 2 y x^{x} - 3$ .

$\frac{y' (- 2 y x^{x} - 3)}{- 2 y x^{x} - 3} = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)}}{- 2 y x^{x} - 3} + \frac{y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)}}{- 2 y x^{x} - 3} + \frac{- 4}{- 2 y x^{x} - 3}$

Этап 5.8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.1

Сократим общий множитель $- 2 y x^{x} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (- 2 y x^{x} - 3)}{- 2 y x^{x} - 3} = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)}}{- 2 y x^{x} - 3} + \frac{y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)}}{- 2 y x^{x} - 3} + \frac{- 4}{- 2 y x^{x} - 3}$

Этап 5.8.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)}}{- 2 y x^{x} - 3} + \frac{y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)}}{- 2 y x^{x} - 3} + \frac{- 4}{- 2 y x^{x} - 3}$

Этап 5.8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)}}{- 2 y x^{x} - 3} + \frac{y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)}}{- 2 y x^{x} - 3} - \frac{4}{- 2 y x^{x} - 3}$

Этап 5.8.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)}}{- 2 y x^{x} - 3} - \frac{4}{- 2 y x^{x} - 3}$

Этап 5.8.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4}{- 2 y x^{x} - 3}$

Этап 5.8.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 y x^{x}$ .

$y' = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4}{- (2 y x^{x}) - 3}$

Этап 5.8.3.5

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$y' = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4}{- (2 y x^{x}) - 1 (3)}$

Этап 5.8.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 y x^{x}) - 1 (3)$ .

$y' = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4}{- (2 y x^{x} + 3)}$

Этап 5.8.3.7

Перепишем отрицательные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.3.7.1

Перепишем $- (2 y x^{x} + 3)$ в виде $- 1 (2 y x^{x} + 3)$ .

$y' = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4}{- 1 (2 y x^{x} + 3)}$

Этап 5.8.3.7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4}{2 y x^{x} + 3}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4}{2 y x^{x} + 3}$