Математический анализ Примеры

$\frac{x y - y^{2}}{y - x} = 1$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\frac{x y - y^{2}}{y - x}) = \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x y - y^{2}$ и $g (x) = y - x$ .

$\frac{(y - x) \frac{d}{d x} [x y - y^{2}] - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $x y - y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{(y - x) (\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$\frac{(y - x) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.5.2

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.5.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - \frac{d}{d x} [y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - (2 u \frac{d}{d x} [y])) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.6.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - (2 y \frac{d}{d x} [y])) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 (y \frac{d}{d x} [y])) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.8

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.9

По правилу суммы производная $y - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.10

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) (y' + \frac{d}{d x} [- x])}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.11

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) (y' - \frac{d}{d x} [x])}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) (y' - 1 \cdot 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.13

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.14.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.2.1.1

Развернем $(y - x) (x y' + y - 2 y y')$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{y (x y') + y \cdot y + y (- 2 y y') - x (x y') - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.14.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.2.1.2.1

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{y (x y') + y^{2} + y (- 2 y y') - x (x y') - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.14.2.1.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 y (y y') - x (x y') - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.14.2.1.2.3

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.2.1.2.3.1

Перенесем $y$ .

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 (y \cdot y) y' - x (x y') - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.14.2.1.2.3.2

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 y^{2} y' - x (x y') - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.14.2.1.2.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.2.1.2.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 y^{2} y' - (x \cdot x) y' - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.14.2.1.2.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.14.2.1.2.5

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 2 x y y' + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.14.2.1.3

Добавим $y (x y')$ и $2 x y y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.2.1.3.1

Изменим порядок $y$ и $x$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + x y y' + 2 x y y' + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.14.2.1.3.2

Добавим $x y y'$ и $2 x y y'$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.14.2.1.4

Умножим $- - y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.2.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' + (- x y + 1 y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.14.2.1.4.2

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' + (- x y + y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.14.2.1.5

Развернем $(- x y + y^{2}) (y' - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.2.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y (y' - 1) + y^{2} (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.14.2.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' - x y \cdot - 1 + y^{2} (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.14.2.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' - x y \cdot - 1 + y^{2} y' + y^{2} \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.14.2.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.2.1.6.1

Умножим $- x y \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.2.1.6.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' + 1 x y + y^{2} y' + y^{2} \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.14.2.1.6.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' + x y + y^{2} y' + y^{2} \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.14.2.1.6.2

Перенесем $- 1$ влево от $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' + x y + y^{2} y' - 1 \cdot y^{2}}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.14.2.1.6.3

Перепишем $- 1 y^{2}$ в виде $- y^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' + x y + y^{2} y' - y^{2}}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.14.2.2

Объединим противоположные члены в $y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' + x y + y^{2} y' - y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.2.2.1

Добавим $- x y$ и $x y$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y' + 0 + y^{2} y' - y^{2}}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.14.2.2.2

Добавим $y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y'$ и $0$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y' + y^{2} y' - y^{2}}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.14.2.2.3

Вычтем $y^{2}$ из $y^{2}$ .

$\frac{- 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y' + y^{2} y' + 0}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.14.2.2.4

Добавим $- 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y' + y^{2} y'$ и $0$ .

$\frac{- 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y' + y^{2} y'}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.14.2.3

Добавим $- 2 y^{2} y'$ и $y^{2} y'$ .

$\frac{- y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y'}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.14.2.4

Вычтем $x y y'$ из $3 x y y'$ .

$\frac{- y^{2} y' - x^{2} y' + 2 x y y'}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.14.3

Изменим порядок членов.

$\frac{- y^{2} y' - x^{2} y' + 2 x y y'}{{(- x + y)}^{2}}$

Этап 2.14.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.4.1

Вынесем множитель $y'$ из $- y^{2} y' - x^{2} y' + 2 x y y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.4.1.1

Вынесем множитель $y'$ из $- y^{2} y'$ .

$\frac{y' (- y^{2}) - x^{2} y' + 2 x y y'}{{(- x + y)}^{2}}$

Этап 2.14.4.1.2

Вынесем множитель $y'$ из $- x^{2} y'$ .

$\frac{y' (- y^{2}) + y' (- x^{2}) + 2 x y y'}{{(- x + y)}^{2}}$

Этап 2.14.4.1.3

Вынесем множитель $y'$ из $2 x y y'$ .

$\frac{y' (- y^{2}) + y' (- x^{2}) + y' (2 x y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Этап 2.14.4.1.4

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- y^{2}) + y' (- x^{2})$ .

$\frac{y' (- y^{2} - x^{2}) + y' (2 x y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Этап 2.14.4.1.5

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- y^{2} - x^{2}) + y' (2 x y)$ .

$\frac{y' (- y^{2} - x^{2} + 2 x y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Этап 2.14.4.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.4.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ , а сумма — $b = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.4.2.1.1

Изменим порядок членов.

$\frac{y' (- x^{2} - y^{2} + 2 x y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Этап 2.14.4.2.1.2

Изменим порядок $- y^{2}$ и $2 x y$ .

$\frac{y' (- x^{2} + 2 x y - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Этап 2.14.4.2.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x y$ .

$\frac{y' (- x^{2} + 2 (x y) - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Этап 2.14.4.2.1.4

Запишем $2$ как $1$ плюс $1$

$\frac{y' (- x^{2} + (1 + 1) (x y) - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Этап 2.14.4.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y' (- x^{2} + 1 (x y) + 1 (x y) - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Этап 2.14.4.2.1.6

Умножим $x y$ на $1$ .

$\frac{y' (- x^{2} + x y + 1 (x y) - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Этап 2.14.4.2.1.7

Умножим $x y$ на $1$ .

$\frac{y' (- x^{2} + x y + x y - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Этап 2.14.4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.4.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{y' ((- x^{2} + x y) + x y - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Этап 2.14.4.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{y' (x (- x + y) - y (- x + y))}{{(- x + y)}^{2}}$

Этап 2.14.4.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x + y$ .

$\frac{y' ((- x + y) (x - y))}{{(- x + y)}^{2}}$

$\frac{y' (- x + y) (x - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Этап 2.14.4.3

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.4.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{y' (- (x) + y) (x - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Этап 2.14.4.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $y$ .

$\frac{y' (- (x) - 1 (- y)) (x - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Этап 2.14.4.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- y)$ .

$\frac{y' (- (x - y)) (x - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Этап 2.14.4.3.4

Перепишем $- (x - y)$ в виде $- 1 (x - y)$ .

$\frac{y' (- 1 (x - y)) (x - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Этап 2.14.4.3.5

Возведем $x - y$ в степень $1$ .

$\frac{y' \cdot - 1 ({(x - y)}^{1} (x - y))}{{(- x + y)}^{2}}$

Этап 2.14.4.3.6

Возведем $x - y$ в степень $1$ .

$\frac{y' \cdot - 1 ({(x - y)}^{1} {(x - y)}^{1})}{{(- x + y)}^{2}}$

Этап 2.14.4.3.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{y' \cdot - 1 {(x - y)}^{1 + 1}}{{(- x + y)}^{2}}$

Этап 2.14.4.3.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{y' \cdot - 1 {(x - y)}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

Этап 2.14.4.4

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{- y' {(x - y)}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

Этап 2.14.5

Сократим общий множитель ${(x - y)}^{2}$ и ${(- x + y)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.5.1

Вынесем множитель $- 1$ из $x$ .

$\frac{- y' {(- 1 (- x) - y)}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

Этап 2.14.5.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$\frac{- y' {(- 1 (- x) - (y))}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

Этап 2.14.5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- x) - (y)$ .

$\frac{- y' {(- 1 (- x + y))}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

Этап 2.14.5.4

Применим правило умножения к $- 1 (- x + y)$ .

$\frac{- y' ({(- 1)}^{2} {(- x + y)}^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Этап 2.14.5.5

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{- y' (1 {(- x + y)}^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Этап 2.14.5.6

Умножим ${(- x + y)}^{2}$ на $1$ .

$\frac{- y' {(- x + y)}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

Этап 2.14.5.7

Сократим общий множитель.

$\frac{- y' {(- x + y)}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

Этап 2.14.5.8

Разделим $- y'$ на $1$ .

$- y'$

Этап 3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- y' = 0$

Этап 5

Разделим каждый член $- y' = 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $- y' = 0$ на $- 1$ .

$\frac{- y'}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y'}{1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 5.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{0}{- 1}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

$y' = 0$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 0$