Математический анализ Примеры

$y^{2} = \frac{x^{2} - 49}{x^{2} + 49}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2} - 49}{x^{2} + 49})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 y y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2} - 49$ и $g (x) = x^{2} + 49$ .

$\frac{(x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [x^{2} - 49] - (x^{2} - 49) \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 49$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 49]$ .

$\frac{(x^{2} + 49) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 49]) - (x^{2} - 49) \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 49) (2 x + \frac{d}{d x} [- 49]) - (x^{2} - 49) \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Этап 3.2.3

Поскольку $- 49$ является константой относительно $x$ , производная $- 49$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{2} + 49) (2 x + 0) - (x^{2} - 49) \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Этап 3.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{(x^{2} + 49) (2 x) - (x^{2} - 49) \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Этап 3.2.4.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2} + 49$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 49) x - (x^{2} - 49) \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Этап 3.2.5

По правилу суммы производная $x^{2} + 49$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 49) x - (x^{2} - 49) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49])}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Этап 3.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 49) x - (x^{2} - 49) (2 x + \frac{d}{d x} [49])}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Этап 3.2.7

Поскольку $49$ является константой относительно $x$ , производная $49$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 49) x - (x^{2} - 49) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Этап 3.2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 49) x - (x^{2} - 49) (2 x)}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Этап 3.2.8.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 49) x - 2 (x^{2} - 49) x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 49) x - 2 (x^{2} - 49) x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 49 x - 2 (x^{2} - 49) x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 49 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 49) x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Этап 3.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 49 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 49 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Этап 3.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Объединим противоположные члены в $2 x^{2} x + 2 \cdot 49 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 49 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1.1

Вычтем $2 x^{2} x$ из $2 x^{2} x$ .

$\frac{2 \cdot 49 x + 0 - 2 \cdot - 49 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Этап 3.3.5.1.2

Добавим $2 \cdot 49 x$ и $0$ .

$\frac{2 \cdot 49 x - 2 \cdot - 49 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Этап 3.3.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.2.1

Умножим $2$ на $49$ .

$\frac{98 x - 2 \cdot - 49 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Этап 3.3.5.2.2

Умножим $- 2$ на $- 49$ .

$\frac{98 x + 98 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Этап 3.3.5.3

Добавим $98 x$ и $98 x$ .

$\frac{196 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 y y' = \frac{196 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Этап 5

Разделим каждый член $2 y y' = \frac{196 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$ на $2 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $2 y y' = \frac{196 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$ на $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{196 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}}{2 y}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{196 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}}{2 y}$

Этап 5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{196 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}}{2 y}$

Этап 5.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{196 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}}{2 y}$

Этап 5.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{\frac{196 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}}{2 y}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y' = \frac{196 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}} \cdot \frac{1}{2 y}$

Этап 5.3.2

Объединим.

$y' = \frac{196 x \cdot 1}{{(x^{2} + 49)}^{2} (2 y)}$

Этап 5.3.3

Сократим общий множитель $196$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $196 x \cdot 1$ .

$y' = \frac{2 (98 x \cdot 1)}{{(x^{2} + 49)}^{2} (2 y)}$

Этап 5.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из ${(x^{2} + 49)}^{2} (2 y)$ .

$y' = \frac{2 (98 x \cdot 1)}{2 ({(x^{2} + 49)}^{2} (y))}$

Этап 5.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 (98 x \cdot 1)}{2 ({(x^{2} + 49)}^{2} (y))}$

Этап 5.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{98 x \cdot 1}{{(x^{2} + 49)}^{2} (y)}$

Этап 5.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Умножим $98$ на $1$ .

$y' = \frac{98 x}{{(x^{2} + 49)}^{2} y}$

Этап 5.3.4.2

Изменим порядок множителей в $\frac{98 x}{{(x^{2} + 49)}^{2} y}$ .

$y' = \frac{98 x}{y {(x^{2} + 49)}^{2}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{98 x}{y {(x^{2} + 49)}^{2}}$