Математический анализ Примеры

$\int \frac{\sqrt{2 + 9 \sqrt[3]{x}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x$

Этап 1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{\sqrt{2 + 9 x^{\frac{1}{3}}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x$

Этап 1.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 + 9 x^{\frac{1}{3}}}$ в виде ${(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x$

Этап 1.3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x^{2}}$ в виде $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\int \frac{{(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

Этап 1.4

Вынесем $x^{\frac{2}{3}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d x$

Этап 1.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d x$

Этап 1.5.2

Умножим $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $- 1$ .

$\int {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d x$

Этап 1.5.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{- 2}{3}} d x$

Этап 1.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{2}{3}} d x$

Этап 2

Пусть $u = 2 + 9 x^{\frac{1}{3}}$ . Тогда $d u = \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}} d x$ , следовательно $- d u = \frac{- 3}{x^{\frac{2}{3}}} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 2 + 9 x^{\frac{1}{3}}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $2 + 9 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 + 9 x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $2 + 9 x^{\frac{1}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 2.1.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{\frac{1}{3}}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$0 + 9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Этап 2.1.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 2.1.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 2.1.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 2.1.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Этап 2.1.3.6.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Этап 2.1.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Этап 2.1.3.8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$0 + 9 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Этап 2.1.3.9

Объединим $9$ и $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$0 + \frac{9 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Этап 2.1.3.10

Перенесем $x^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{9}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.3.11

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$0 + \frac{3 \cdot 3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.3.12

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.12.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$0 + \frac{3 \cdot 3}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Этап 2.1.3.12.2

Сократим общий множитель.

$0 + \frac{3 \cdot 3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.3.12.3

Перепишем это выражение.

$0 + \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.4

Добавим $0$ и $\frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{3} u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ в виде $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 5.2.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{2}{9} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $2 + 9 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{9} {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}} + C$