Математический анализ Примеры

$y = {\cos (2 x)}^{x}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({\cos (2 x)}^{x})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить дифференцирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем ${\cos (2 x)}^{x}$ в виде $e^{\ln ({\cos (2 x)}^{x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\cos (2 x)}^{x})}]$

Этап 3.1.2

Развернем $\ln ({\cos (2 x)}^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (\cos (2 x))}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x \ln (\cos (2 x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x \ln (\cos (2 x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (2 x))]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (2 x))]$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x \ln (\cos (2 x))$ .

$e^{x \ln (\cos (2 x))} \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (2 x))]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \ln (\cos (2 x))$ .

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x \frac{d}{d x} [\ln (\cos (2 x))] + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\cos (2 x)$ .

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4.2

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\cos (2 x)$ .

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\frac{1}{\cos (2 x)} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.5

Переведем $\frac{1}{\cos (2 x)}$ в $\sec (2 x)$ .

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $2 x$ .

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\sec (2 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x])) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.6.2

Производная $\cos (u_{3})$ по $u_{3}$ равна $- \sin (u_{3})$ .

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\sec (2 x) (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x])) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.6.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $2 x$ .

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\sec (2 x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.7

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\sec (2 x) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.7.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.7.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x) \cdot 1)) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.7.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x))) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.7.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x))) + \ln (\cos (2 x)) \cdot 1)$

Этап 3.7.6

Умножим $\ln (\cos (2 x))$ на $1$ .

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x))) + \ln (\cos (2 x)))$

Этап 3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x)))) + e^{x \ln (\cos (2 x))} \ln (\cos (2 x))$

Этап 3.8.2

Избавимся от скобок.

$e^{x \ln (\cos (2 x))} x \sec (2 x) (- 2 \sin (2 x)) + e^{x \ln (\cos (2 x))} \ln (\cos (2 x))$

Этап 3.8.3

Изменим порядок членов.

$- 2 e^{x \ln (\cos (2 x))} x \sec (2 x) \sin (2 x) + e^{x \ln (\cos (2 x))} \ln (\cos (2 x))$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - 2 e^{x \ln (\cos (2 x))} x \sec (2 x) \sin (2 x) + e^{x \ln (\cos (2 x))} \ln (\cos (2 x))$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 e^{x \ln (\cos (2 x))} x \sec (2 x) \sin (2 x) + e^{x \ln (\cos (2 x))} \ln (\cos (2 x))$