Математический анализ Примеры

$y = \frac{{(3 x - 4)}^{4}}{{(2 x + 3)}^{7}}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{{(3 x - 4)}^{4}}{{(2 x + 3)}^{7}})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = {(3 x - 4)}^{4}$ и $g (x) = {(2 x + 3)}^{7}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{7} \frac{d}{d x} [{(3 x - 4)}^{4}] - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{({(2 x + 3)}^{7})}^{2}}$

Этап 3.2

Перемножим экспоненты в ${({(2 x + 3)}^{7})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{7} \frac{d}{d x} [{(3 x - 4)}^{4}] - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{7 \cdot 2}}$

Этап 3.2.2

Умножим $7$ на $2$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{7} \frac{d}{d x} [{(3 x - 4)}^{4}] - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = 3 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $3 x - 4$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{7} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [3 x - 4]) - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{7} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [3 x - 4]) - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 x - 4$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{7} (4 {(3 x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x - 4]) - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Этап 3.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перенесем $4$ влево от ${(2 x + 3)}^{7}$ .

$\frac{4 \cdot {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x - 4] - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Этап 3.4.2

По правилу суммы производная $3 x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{4 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Этап 3.4.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Этап 3.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{4 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Этап 3.4.5

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{4 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} (3 + \frac{d}{d x} [- 4]) - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Этап 3.4.6

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{4 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} (3 + 0) - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Этап 3.4.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.1

Добавим $3$ и $0$ .

$\frac{4 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} \cdot 3 - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Этап 3.4.7.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Этап 3.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x + 3$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - {(3 x - 4)}^{4} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{7}] \frac{d}{d x} [2 x + 3])}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Этап 3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - {(3 x - 4)}^{4} (7 {u_{2}}^{6} \frac{d}{d x} [2 x + 3])}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Этап 3.5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x + 3$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - {(3 x - 4)}^{4} (7 {(2 x + 3)}^{6} \frac{d}{d x} [2 x + 3])}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Этап 3.6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $7$ на $- 1$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 7 {(3 x - 4)}^{4} ({(2 x + 3)}^{6} \frac{d}{d x} [2 x + 3])}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Этап 3.6.2

По правилу суммы производная $2 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 7 {(3 x - 4)}^{4} ({(2 x + 3)}^{6} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Этап 3.6.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 7 {(3 x - 4)}^{4} ({(2 x + 3)}^{6} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Этап 3.6.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 7 {(3 x - 4)}^{4} ({(2 x + 3)}^{6} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Этап 3.6.5

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 7 {(3 x - 4)}^{4} ({(2 x + 3)}^{6} (2 + \frac{d}{d x} [3]))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Этап 3.6.6

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 7 {(3 x - 4)}^{4} ({(2 x + 3)}^{6} (2 + 0))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Этап 3.6.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.7.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 7 {(3 x - 4)}^{4} ({(2 x + 3)}^{6} \cdot 2)}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Этап 3.6.7.2

Перенесем $2$ влево от ${(2 x + 3)}^{6}$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 7 {(3 x - 4)}^{4} (2 \cdot {(2 x + 3)}^{6})}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Этап 3.6.7.3

Умножим $2$ на $- 7$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 14 {(3 x - 4)}^{4} {(2 x + 3)}^{6}}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Этап 3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Вынесем множитель $2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3}$ из $12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 14 {(3 x - 4)}^{4} {(2 x + 3)}^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1.1

Вынесем множитель $2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3}$ из $12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3}$ .

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (6 (2 x + 3)) - 14 {(3 x - 4)}^{4} {(2 x + 3)}^{6}}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Этап 3.7.1.1.2

Вынесем множитель $2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3}$ из $- 14 {(3 x - 4)}^{4} {(2 x + 3)}^{6}$ .

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (6 (2 x + 3)) + 2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (- 7 (3 x - 4))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Этап 3.7.1.1.3

Вынесем множитель $2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3}$ из $2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (6 (2 x + 3)) + 2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (- 7 (3 x - 4))$ .

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (6 (2 x + 3) - 7 (3 x - 4))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Этап 3.7.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (6 (2 x) + 6 \cdot 3 - 7 (3 x - 4))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Этап 3.7.1.3

Умножим $2$ на $6$ .

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (12 x + 6 \cdot 3 - 7 (3 x - 4))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Этап 3.7.1.4

Умножим $6$ на $3$ .

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (12 x + 18 - 7 (3 x - 4))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Этап 3.7.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (12 x + 18 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 4)}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Этап 3.7.1.6

Умножим $3$ на $- 7$ .

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (12 x + 18 - 21 x - 7 \cdot - 4)}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Этап 3.7.1.7

Умножим $- 7$ на $- 4$ .

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (12 x + 18 - 21 x + 28)}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Этап 3.7.1.8

Вычтем $21 x$ из $12 x$ .

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (- 9 x + 18 + 28)}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Этап 3.7.1.9

Добавим $18$ и $28$ .

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (- 9 x + 46)}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Этап 3.7.2

Сократим общий множитель ${(2 x + 3)}^{6}$ и ${(2 x + 3)}^{14}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Вынесем множитель ${(2 x + 3)}^{6}$ из $2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (- 9 x + 46)$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{6} (2 {(3 x - 4)}^{3} (- 9 x + 46))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Этап 3.7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.1

Вынесем множитель ${(2 x + 3)}^{6}$ из ${(2 x + 3)}^{14}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{6} (2 {(3 x - 4)}^{3} (- 9 x + 46))}{{(2 x + 3)}^{6} {(2 x + 3)}^{8}}$

Этап 3.7.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{{(2 x + 3)}^{6} (2 {(3 x - 4)}^{3} (- 9 x + 46))}{{(2 x + 3)}^{6} {(2 x + 3)}^{8}}$

Этап 3.7.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 {(3 x - 4)}^{3} (- 9 x + 46)}{{(2 x + 3)}^{8}}$

Этап 3.7.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 9 x$ .

$\frac{2 {(3 x - 4)}^{3} (- (9 x) + 46)}{{(2 x + 3)}^{8}}$

Этап 3.7.4

Перепишем $46$ в виде $- 1 (- 46)$ .

$\frac{2 {(3 x - 4)}^{3} (- (9 x) - 1 (- 46))}{{(2 x + 3)}^{8}}$

Этап 3.7.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (9 x) - 1 (- 46)$ .

$\frac{2 {(3 x - 4)}^{3} (- (9 x - 46))}{{(2 x + 3)}^{8}}$

Этап 3.7.6

Перепишем $- (9 x - 46)$ в виде $- 1 (9 x - 46)$ .

$\frac{2 {(3 x - 4)}^{3} (- 1 (9 x - 46))}{{(2 x + 3)}^{8}}$

Этап 3.7.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(2 {(3 x - 4)}^{3}) (9 x - 46)}{{(2 x + 3)}^{8}}$

Этап 3.7.8

Изменим порядок множителей в $- \frac{(2 {(3 x - 4)}^{3}) (9 x - 46)}{{(2 x + 3)}^{8}}$ .

$- \frac{2 {(3 x - 4)}^{3} (9 x - 46)}{{(2 x + 3)}^{8}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - \frac{2 {(3 x - 4)}^{3} (9 x - 46)}{{(2 x + 3)}^{8}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 {(3 x - 4)}^{3} (9 x - 46)}{{(2 x + 3)}^{8}}$